Considere a questão:
Verifique se S é um subespaço vetorial de R^3, para adição e multiplicação por escalar, usuais. Justifique.Um estudante respondeu da seguinte maneira:
Linha 2: i) u+v=(x1, y1, raizx1+y1)+(x2, y2, raizx2+y2)=(x1+x2, y1+y2, raizx1+x2+y1+y2) in S
Reescreva cada linha da solução corrigindo o(s) erro(s) cometidos pelo estudante. Se estiver correta, escrever
Linha 2:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de usando as operações usuais de adição de vetores e multiplicação por escalar. Para isso, vamos precisar lembrar que um subespaço deve satisfazer três propriedades:
  1. Conter o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Ser fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos focar no segundo ponto agora.

Passo 2

Vamos analisar a Linha 2 da solução do estudante:
Linha 2: i) raizx1 + y1 + raizx2 + y2
O que está acontecendo aqui?
O estudante está tentando somar dois vetores raizx1 + x2 + y1 + y2 e que pertencem a . Cada vetor tem a terceira componente definida como a raiz quadrada da soma das duas primeiras componentes.
Onde está o erro?
Ao somar os vetores, a terceira componente do resultado deveria ser a soma das raízes quadradas das terceiras componentes dos vetores originais, ou seja:
Mas o estudante escreveu:
Isso está errado porque a raiz quadrada da soma não é igual à soma das raízes quadradas.

Passo 3

Vamos corrigir a Linha 2:
Linha 2: i)

Resposta

Linha 2 foi corrigida para refletir a soma correta das terceiras componentes dos vetores e .

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