Considere o subespaço S do R^5 gerado pelos vetores A=(1,1,1,1,1),(2,1,0,1,2),(3,3,0,3,3).
O vetor (23, 1,-1, 12, 2) pertence a S ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente descobrir se o vetor está dentro do subespaço de gerado pelos vetores . Isso envolve conceitos de álgebra linear, como combinação linear e sistema de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa que um vetor pertence a um subespaço gerado por outros vetores. Basicamente, queremos ver se conseguimos escrever o vetor dado como uma combinação linear dos vetores que geram x1 cdot (1,1,1,1,1) + x2 cdot (2,1,0,1,2) + x3 cdot (3,3,0,3,3) = (23, 1, -1, 12, 2) . Ou seja, precisamos encontrar escalares tais que:

Passo 3

Vamos montar isso componente por componente. Isso nos dá um sistema de equações:
x1 + 2x2 + 3x3 = 23 (componente 1) x1 + x2 + 3x3 = 1 (componente 2) x1 + 0x2 + 0x3 = -1 (componente 3) x1 + x2 + 3x3 = 12 (componente 4) x1 + 2x2 + 3x3 = 2 (componente 5)

Passo 4

Observamos que a terceira equação nos dá diretamente o valor de x1 = -1 :

Passo 5

Substituímos nas outras equações:
  1. \
  2. \
  3. \

Passo 6

Vamos simplificar as equações:
  1. \
  2. \
  3. \

Passo 7

Agora, observamos que as equações 2 e 4 dão valores diferentes para x2 + 3x3 = 2 e x2 + 3x3 = 32 :
Isso é um absurdo, porque . Ou seja, não há solução que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Resposta

Não, o vetor não pertence ao subespaço , pois não existe combinação linear dos vetores geradores que resulta nesse vetor.

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