em que e .
(a) Escreva o vetor como combinação linear dos vetores de .
(b) Utilize o resultado do item (a) para escrever o vetor como combinação linear dos vetores de .
(c) Utilize o novamente resultado do item (a) para verificar que é LI.
(d) Conclua que é uma base do -espaço vetorial .
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial e o conjunto com
e pede
a) expressar um vetor genérico como combinação linear de ,
b) usar isso em ,
c) verificar que é linearmente independente,
d) concluir que é base de .
Vamos resolver um sistema linear para encontrar os coeficientes.
Passo 2
Procuramos tais que
Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
Para testar independência, considere alpha v1+beta v2+gamma v3=(0,0,0).
Pela fórmula geral do Passo 3, isso dá alpha=tfrac3cdot0-02=0, beta=tfrac0-02=0, gamma=tfrac2cdot0-(0+0)2=0.
Só a combinação trivial anula, logo B é linearmente independente.
Passo 6
Temos três vetores linearmente independentes em R^3. Portanto B gera R^3 e, por ter dimensão 3, é uma base.
Resposta
(a) Para (a,b,c) os coeficientes são
alpha=3a-c2,; beta=c-a2,; gamma=2b-a-c2,
ou seja
(a,b,c) =3a-c2,v1+c-a2,v2+2b-a-c2,v3
(b)
(4,7,-2)=7,v1-3,v2+6,v3
(c) A única solução de alpha v1+beta v2+gamma v3=0 é alpha=beta=gamma=0, logo B é LI.
(d) Sendo três vetores LI em R^3, B é base de R^3.