Considere o R-espaço vetorial R^3 e o subconjunto
B=v1, v2, v3
em que v1=(1,1,1), v2=(1,2,3) e v3=(0,1,0).
(a) Escreva o vetor v=(a, b, c) como combinação linear dos vetores de B.
(b) Utilize o resultado do item (a) para escrever o vetor v=(4,7,-2) como combinação linear dos vetores de B.
(c) Utilize o novamente resultado do item (a) para verificar que B é LI.
(d) Conclua que B é uma base do R-espaço vetorial R^3.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial R^3 e o conjunto B=v1,v2,v3 com
v1=(1,1,1), v2=(1,2,3), v3=(0,1,0),
e pede
a) expressar um vetor genérico (a,b,c) como combinação linear de B,
b) usar isso em (4,7,-2),
c) verificar que B é linearmente independente,
d) concluir que B é base de R^3.
Vamos resolver um sistema linear para encontrar os coeficientes.

Passo 2

Procuramos alpha,beta,gammainR tais que
alpha v1+beta v2+gamma v3=(a,b,c)
Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
alpha+beta=a, alpha+2beta+gamma=b, alpha+3beta=c

Passo 3

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação vem alpha=a-beta.
  2. Substituindo na terceira:
(a-beta)+3beta=c Longrightarrow a+2beta=c Longrightarrow beta=c-a2
  1. Então
alpha=a-c-a2=3a-c2
  1. Pela segunda equação,
gamma=b-l(alpha+2betar) =b-l(tfrac3a-c2+2cdottfracc-a2r) =2b-(a+c)2
Portanto, para todo (a,b,c)
boxed alpha=3a-c2, beta=c-a2, gamma=2b-a-c2

Passo 4

No vetor (4,7,-2) temos a=4, b=7, c=-2. Logo
alpha=3cdot4-(-2)2=142=7, beta=-2-42=-3, gamma=2cdot7-(4+(-2))2=14-22=6
Assim
(4,7,-2)=7v1-3v2+6v3

Passo 5

Para testar independência, considere
alpha v1+beta v2+gamma v3=(0,0,0).
Pela fórmula geral do Passo 3, isso dá
alpha=tfrac3cdot0-02=0,
beta=tfrac0-02=0,
gamma=tfrac2cdot0-(0+0)2=0.
Só a combinação trivial anula, logo B é linearmente independente.

Passo 6

Temos três vetores linearmente independentes em R^3. Portanto B gera R^3 e, por ter dimensão 3, é uma base.

Resposta

(a) Para (a,b,c) os coeficientes são
alpha=3a-c2,; beta=c-a2,; gamma=2b-a-c2,
ou seja
(a,b,c) =3a-c2,v1+c-a2,v2+2b-a-c2,v3
(b)
(4,7,-2)=7,v1-3,v2+6,v3
(c) A única solução de alpha v1+beta v2+gamma v3=0 é alpha=beta=gamma=0, logo B é LI.
(d) Sendo três vetores LI em R^3, B é base de R^3.

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