Exercício 3.10.6. Provar que, dada uma matriz quadrada , de ordem , temos que
E’ verdade ou não que dadas duas matrizes quadradas e , de ordem , temos

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, provar que para qualquer matriz quadrada A de ordem n vale
A^2 = I ;Long<=ftrightarrow; (I+A)(I-A)=0
Depois, questiona se a fatoração
A^2=B^2 ;Long<=ftrightarrow; (A+B)(A-B)=0
é válida para matrizes A,B de mesma ordem. O conteúdo principal é fatoração de diferença de quadrados em matrizes e o papel da comutatividade.

Passo 2

Para mostrar
(I+A)(I-A)=0 ;Long<=ftrightarrow; A^2=I,
basta expandir pela distributividade:
(I+A)(I-A) =I,I-IA + A,I-A^2 =I-A+A-A^2 =I-A^2
Logo
(I+A)(I-A)=0 Long<=ftrightarrow I-A^2=0 Long<=ftrightarrow A^2=I

Passo 3

Concluímos que a primeira equivalência é sempre verdadeira, sem nenhuma hipótese extra: trocar a identidade pelo inverso polinomial funciona perfeitamente.

Passo 4

Agora considere A^2=B^2. Queremos ver se isso implica (A+B)(A-B)=0. Expanda:
(A+B)(A-B) =A^2-AB+BA-B^2 =(A^2-B^2)+(BA-AB)
Se A^2=B^2, então
(A+B)(A-B)=BA-AB,
que é o comutador [B,A]. Em geral isso não é zero, a menos que AB=BA.

Passo 5

Um contraexemplo simples em 2times 2:
A=0&10&0, B=0&01&0
Aqui A^2=0=B^2, mas
(A+B)(A-B) =l(E12+E21r)l(E12-E21r) =-E11+E22neq 0
Logo A^2=B^2 não garante (A+B)(A-B)=0 sem comutatividade.

Resposta

A primeira equivalência é verdadeira para toda matriz A.
A segunda não vale em geral: só acontece que
A^2=B^2;Long<=ftrightarrow;(A+B)(A-B)=0
quando além de A^2=B^2 tivermos AB=BA.

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