Exercício 3.10.6. Provar que, dada uma matriz quadrada
, de ordem
, temos que
E’ verdade ou não que dadas duas matrizes quadradas
e
, de ordem
, temos
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, provar que para qualquer matriz quadrada
de ordem
vale
Depois, questiona se a fatoração
é válida para matrizes
de mesma ordem. O conteúdo principal é fatoração de diferença de quadrados em matrizes e o papel da comutatividade.
Passo 2
Para mostrar
basta expandir pela distributividade:
Logo
Passo 3
Concluímos que a primeira equivalência é sempre verdadeira, sem nenhuma hipótese extra: trocar a identidade pelo inverso polinomial funciona perfeitamente.
Passo 4
Agora considere
. Queremos ver se isso implica
. Expanda:
Se
, então
que é o comutador
. Em geral isso não é zero, a menos que
.
Passo 5
Um contraexemplo simples em
:
Aqui
, mas
Logo
não garante
sem comutatividade.
Resposta
A primeira equivalência é verdadeira para toda matriz
.
A segunda não vale em geral: só acontece que
A segunda não vale em geral: só acontece que
quando além de
tivermos
.