Considere 
  munido do produto interno usual. Seja 
  uma base ortonormal de 
  e 
  um operador ortogonal. Determine os possíveis valores de 
  sabendo que 
  e 
 .
Passo 1
Vamos resumir o que temos aqui: estamos no espaço tridimensional 
  com o produto interno padrão. Temos uma base ortonormal 
  e um operador ortogonal 
 . Sabemos como 
  age sobre 
  e 
 , e precisamos descobrir quais são os possíveis vetores que 
  pode associar a 
 . Para isso, vamos usar as propriedades dos operadores ortogonais e das bases ortonormais.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que um operador ortogonal preserva o produto interno. Isso significa que, se 
  é ortogonal, então para quaisquer vetores 
  e 
  em 
 , temos:
Isso garante que as normas e os ângulos entre os vetores são mantidos após a aplicação de 
 .
Passo 3
Como 
  é uma base ortonormal e 
  é ortogonal, as imagens dos vetores da base por 
  também formam uma base ortonormal. Ou seja, os vetores 
 , 
  e 
  são todos ortogonais entre si e têm norma igual a 1.
Passo 4
Sabemos que:
Queremos encontrar 
  de modo que ele seja ortogonal a ambos 
  e 
  e que tenha norma 1.
Passo 5
Vamos supor que:
Para que 
  seja ortogonal a 
  e 
 , devemos ter:
E também:
Passo 6
Calculando o produto interno com 
 :
Isso implica que:
Passo 7
Calculando o produto interno com 
 :
Portanto, 
 .
Passo 8
Agora, usamos a condição da norma:
Substituindo 
  e 
 :
Isso nos dá:
Passo 9
Finalmente, substituímos os valores de 
  para encontrar 
 :
- Se 
, então  - Se 
, então  
Portanto, os possíveis valores para 
  são:
Resposta
Os possíveis valores de 
  são 
  e 
 .