Prove as afirmações verdadeiras e dê um contra-exemplo para as falsas.
Seja 
  um operador linear ortogonal de um espaço vetorial real 
 , então seus autovalores só podem ser 1 ou -1 .
Seja
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre um operador linear ortogonal 
  em um espaço vetorial real 
 . A afirmação é que os autovalores de 
  só podem ser 
  ou 
 . Para resolver, vamos entender o que são operadores ortogonais e autovalores, e ver se essa afirmativa sempre é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, um operador linear ortogonal é aquele que preserva o produto interno, ou seja, para todos os vetores 
  em 
 , temos 
 . Isso implica que 
  é uma transformação que mantém os ângulos e as magnitudes dos vetores.
Passo 3
Agora, sobre autovalores: um autovalor 
  de 
  é um número tal que existe um vetor não nulo 
  onde 
 . Ou seja, 
  é “esticado” ou “encolhido” por 
  por um fator 
 .
Passo 4
Para operadores ortogonais, sabemos que os autovalores têm módulo igual a 
 . Isso porque 
  preserva as magnitudes dos vetores. Mas isso não significa que os autovalores têm que ser somente 
  ou 
 .
Passo 5
Vamos pensar em um exemplo simples: uma rotação no plano. Considere a matriz de rotação
Esse operador é ortogonal porque 
 . Mas os autovalores de 
  são complexos: 
  e 
 , que não são 
  nem 
 , a menos que 
  seja 
  ou 
  graus.
Passo 6
Portanto, nem todo operador linear ortogonal tem autovalores que são apenas 
  ou 
 . Dependendo da transformação, especialmente em espaços de dimensão maior que dois ou em rotações, podemos ter autovalores diferentes.
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, uma rotação no plano com ângulo diferente de 
  ou 
  graus é um operador linear ortogonal cujos autovalores não são 
  nem 
 .