Considere em R^3 as seguintes operações:
(x1, x2, x3)+(y1, y2, y3) & =(x1+y1, x2+y2, x3+y3) alpha cdot(x1, x2, x3) & =(alpha x1, alpha x2, x3)
em que (x1, x2, x3),(y1, y2, y3) in R^3 e alpha in R. É correto afirmar que:
( ) (R^3,+, cdot) é um espaço vetorial, pois a soma é igual à soma usual em R^3.
( ) (R^3,+, cdot) não é um espaço vetorial, pois u+(v+w) neq(u+v)+w para algum u, v, w in R^3.
( ) (R^3,+, cdot) não é um espaço vetorial, pois alpha cdot(beta cdot u) neq(alpha beta) cdot u para algum u in R^3 e alpha, beta in R.
( ) (R^3,+, cdot) não é um espaço vetorial, pois (alpha+beta) cdot u neq alpha cdot u+beta cdot u para algum u in R^3 e alpha, beta in R.
( ) (R^3,+, cdot) não é um espaço vetorial, pois alpha cdot(u+v) neq alpha cdot u+alpha cdot v para algum u, v in R^3 e alpha in R.
( ) Nenhuma das alternativas anteriores.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos operações de soma e multiplicação por escalar definidas em . Nosso objetivo é verificar se forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender os axiomas de espaço vetorial e verificar se essas operações os satisfazem.

Passo 2

Axiomas de Espaço Vetorial: Para que seja um espaço vetorial, as operações de soma e multiplicação por escalar devem obedecer a 8 axiomas básicos, como comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro, distributividade, etc.

Passo 3

Vamos analisar a operação de soma definida:
(x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)
Essa é a soma usual em , que satisfaz todos os axiomas de soma em um espaço vetorial, como comutatividade, associatividade e existência de elemento neutro.

Passo 4

Agora, vamos olhar para a operação de multiplicação por escalar:
alpha cdot (x1, x2, x3) = (alpha x1, alpha x2, x3)
Perceba que o terceiro componente não está sendo multiplicado por , o que já é diferente da multiplicação usual em . Isso pode afetar alguns axiomas.

Passo 5

Vamos verificar os axiomas de distribuição. Um deles é:
(alpha + beta) cdot u = alpha cdot u + beta cdot u
Vamos testar com um vetor (alpha + beta) cdot (u1, u2, u3) = ((alpha + beta)u1, (alpha + beta)u2, u3) :
alpha cdot (u1, u2, u3) + beta cdot (u1, u2, u3) = (alpha u1, alpha u2, u3) + (beta u1, beta u2, u3) = ((alpha + beta)u1, (alpha + beta)u2, u3 + u3)
Por outro lado:
Comparando, vemos que tem , enquanto tem . Eles só são iguais se , o que nem sempre é verdade.

Passo 6

Como encontramos uma violação no axioma de distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares, podemos concluir que não satisfaz todos os axiomas necessários para ser um espaço vetorial.

Resposta

não é um espaço vetorial, pois para algum e .

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