Considere os seguintes conjuntos:
F & =(1,1,0,3),(0,0,1,0) G & =(x, y, z, w) in R^4: x+y-2 w=0 e y+z+w=0 H & =(x, y, z, t) in R^4: x+y=0 e z-t=0 J & =(x, y, z, t) in R^4: x-y-z+t=0 U & =A in Mn(R): A^t=A W & =B in Mn(R): B^t=-B K & =(x, y, z) in R^3: x=0 B & =(x, y, z) in R^3: y=0
Assinale a alternativa CORRETA:
( ) F+G é soma direta.
( ) H+J é soma direta.
( ) U+W não é soma direta.
( ) K+B é soma direta.
( ) Nenhuma das demais alternativas está correta.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos vários conjuntos de vetores e matrizes, e precisamos verificar qual das alternativas sobre soma direta desses conjuntos está correta. O conteúdo aqui envolve espaços vetoriais e a soma direta de subespaços. Para resolver, vamos lembrar que a soma direta de dois subespaços é direta se a única maneira de zero estar na soma é ambos os vetores serem zero. Ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a alternativa ( ) F = (1,1,0,3), (0,0,1,0) é soma direta. Precisamos verificar se a interseção de G = (x, y, z, w) in R^4 : x + y - 2w = 0 e y + z + w = 0 e é apenas o vetor zero. Olhando os conjuntos:
Vamos ver se existe algum vetor além de zero que está em ambos.

Passo 3

Agora, vamos para a alternativa ( ) H = (x, y, z, t) in R^4 : x + y = 0 e z - t = 0 é soma direta. Aqui:
J = (x, y, z, t) in R^4 : x - y - z + t = 0
Novamente, precisamos ver se a interseção é apenas o vetor zero.

Passo 4

Seguimos para a alternativa ( ) U = A in Mn(R) : A^t = A não é soma direta. Sabemos que:
W = B in Mn(R) : B^t = -B
Aqui, é o conjunto de matrizes simétricas e o de matrizes antissimétricas. Precisamos verificar se a soma não é direta, ou seja, se existe uma matriz que está em ambos os conjuntos além da zero.

Passo 5

Vamos analisar a alternativa ( ) K = (x, y, z) in R^3 : x = 0 é soma direta. Os conjuntos são:
B = (x, y, z) in R^3 : y = 0
Checamos se a interseção é apenas o vetor zero.

Passo 6

Por fim, se nenhuma das alternativas anteriores for correta, a última opção será a resposta. Vamos verificar cada caso para concluir qual é a correta.

Resposta

A alternativa correta é:
(✓) não é soma direta.

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