Considere que a radiação eletromagnética incide sobre um meio material. Uma parcela da radiação luminosa pode ser transmitida através do meio, uma parcela será absorvida, e outra será refletida na interface entre os dois meios com índice de refração n1 e n2. A intensidade 10 do feixe incidente à superfície do meio sólido deve ser igual à soma das intensidades dos feixes transmitido (IT), absorvido (IA) e refletido ( IR ). Usando as equações de Maxwell do eletromagnetismo e o Princípio de Fermat, mostre que a transmissividade (IT/IO), a absortividade (IA/IO) e a refletividade (IR/IO) é dado por:
T=(1-R)^2 exp (-alpha x)
R=[(n2-n1) /(n2+n1)]^2
A=1-(T+R)=? A+T+R=1

Passo 1

Beleza, vamos primeiro entender o que o exercício pede. A ideia é que um feixe de luz incida numa superfície de um meio com índice de refração R = (n2 - n1n2 + n1)^2, T = (1 - R)^2 , e^-alpha x, A = 1 - (R + T) vindo de um meio com índice . Parte dessa luz é refletida, parte é absorvida ao atravessar o meio e parte sai do outro lado. Temos três quantidades de intensidade:
  • : refletida na primeira interface,
  • : absorvida ao percorrer o meio de espessura ,
  • : finalmente transmitida pela segunda interface.
O enunciado quer que a gente mostre:
Isso envolve conceitos de eletromagnetismo (Fresnel, condições de contorno de Maxwell) e o decaimento exponencial de intensidade dentro do meio ( ).

Passo 2

Primeiro: refletividade r = n2 - n1n2 + n1 na interface (incidência normal).
  1. Pelas equações de Maxwell (continuidade do campo elétrico tangencial e magnético tangencial nas duas faces), vem o coeficiente de amplitude de reflexão
R = |r|^2 = (n2 - n1n2 + n1)^2
  1. Como intensidade , temos

Passo 3

Agora o coeficiente de transmissão em cada interface.
  1. Se Trm ent = 1 - R é o que sobra na reflexão, a fração que entra no meio na primeira interface é
Trm interfaces = (1 - R),(1 - R) = (1 - R)^2
  1. Quando esse feixe sai do meio pela segunda interface, de volta para o , ele sofre outra transmissão de mesma “força” (índices trocados, mas dá o mesmo valor de transmissão). Então a transmissão total nas duas passagens de superfície é

Passo 4

Agora incluímos a absorção que acontece dentro do meio.
Teoria: intensidade decai exponencialmente segundo
I(x) = I0 , e^-alpha x,
onde T = Trm interfaces times e^-alpha x = (1 - R)^2 , e^-alpha x é o coeficiente de absorção e a espessura percorrida.
Logo, depois de atravessar o material, a fração que resta é .
Juntando tudo (interfaces + absorção), a transmissividade total é

Passo 5

Por fim, a energia incidente se divide em refletido A = 1 - (R + T) , absorvido e transmitido . Então

Resposta

boxed R = (n2 - n1n2 + n1)^2, T = (1 - R)^2,e^-alpha x, A = 1 - l[R + (1 - R)^2,e^-alpha xr]

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