Considere a região
no espaço
delimitada pelo cilindro
e pelos planos
e
. A densidade da região é dada pela função
. Calcule a massa da região
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A região
é delimitada pelo cilindro e pelos planos e . - A densidade volumétrica é
. - O enunciado pede: calcular a massa total da região
.
Informações úteis extraídas do enunciado:
- A projeção de
no plano é o disco de raio : . - O eixo
varia entre e .
Passo 2
Definir a fórmula para massa e interpretar suas variáveis.
- A massa total de uma região com densidade
é dada pelo integral triplo
Aqui
é a densidade em cada ponto e
é o elemento de volume. O objetivo é avaliar esse integral sobre a região
.
Passo 3
Escolher coordenadas e justificar a escolha.
- A região tem simetria circular em torno do eixo
(é um cilindro de raio constante). Nessas situações é muito conveniente usar coordenadas cilíndricas (que em coincidem com polares). - As coordenadas cilíndricas são dadas por
onde
é a distância ao eixo
e
é o ângulo polar.
- O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
Explicando por que aparece o fator
: quando se troca
por
o jacobiano da transformação é
, representando a expansão do elemento de área polar.
Passo 4
Reescrever a densidade na nova coordenada e montar o integral com os limites.
- Como
, a densidade fica
- Logo o integrando
em cilíndricas é
- Limites da integração:
-
varia de a (todo o disco). -
varia de a (raio do cilindro). -
varia de a .
-
- Portanto o integral para a massa é
Passo 5
Integrar em
primeiro (integração interna).
- Calcular o integral em
:
- Como
é constante em relação a , temos
- Somando,
Passo 6
Integrar em
(segunda integral).
- Agora avaliar
- Calcular separadamente:
- Substituindo:
- Colocando em uma única fração:
Passo 7
Integrar em
(última integração).
- Agora o integrando restante é constante em
, então
Passo 8
Interpretação do resultado e cheque rápido de consistência.
- O resultado é um valor positivo e proporcional a
, como faz sentido por simetria circular. - Em forma decimal aproximada,
(apenas para intuição). O valor exato é preferível.