Considere a região E no espaço \mathbb{R}^{3} delimitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4 e pelos planos z=0 e z=5. A densidade da região é dada pela função \rho(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}. Calcule a massa da região E.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A região E é delimitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4 e pelos planos z=0 e z=5.
  • A densidade volumétrica é \rho(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
  • O enunciado pede: calcular a massa total da região E.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A projeção de E no plano xy é o disco de raio 2: \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.
  • O eixo z varia entre 0 e 5.

Passo 2

Definir a fórmula para massa e interpretar suas variáveis.
  • A massa total de uma região com densidade \rho é dada pelo integral triplo
m=\iiint_{E}\rho(x,y,z)\,dV.
Aqui \rho(x,y,z) é a densidade em cada ponto e dV é o elemento de volume. O objetivo é avaliar esse integral sobre a região E.

Passo 3

Escolher coordenadas e justificar a escolha.
  • A região tem simetria circular em torno do eixo z (é um cilindro de raio constante). Nessas situações é muito conveniente usar coordenadas cilíndricas (que em xy coincidem com polares).
  • As coordenadas cilíndricas são dadas por
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z,
onde r\ge0 é a distância ao eixo z e \theta é o ângulo polar.
  • O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicando por que aparece o fator r: quando se troca (x,y) por (r,\theta) o jacobiano da transformação é r, representando a expansão do elemento de área polar.

Passo 4

Reescrever a densidade na nova coordenada e montar o integral com os limites.
  • Como x^{2}+y^{2}=r^{2}, a densidade fica
\rho(r,\theta,z)=r^{2}+z^{2}.
  • Logo o integrando \rho\,dV em cilíndricas é
\rho\,dV=(r^{2}+z^{2})\cdot r\,dr\,d\theta\,dz = \bigl(r^{3}+r z^{2}\bigr)\,dr\,d\theta\,dz.
  • Limites da integração:
    • \theta varia de 0 a 2\pi (todo o disco).
    • r varia de 0 a 2 (raio do cilindro).
    • z varia de 0 a 5.
  • Portanto o integral para a massa é
m=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{0}^{5}\bigl(r^{3}+r z^{2}\bigr)\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integrar em z primeiro (integração interna).
  • Calcular o integral em z:
\int_{0}^{5}\bigl(r^{3}+r z^{2}\bigr)\,dz = \int_{0}^{5} r^{3}\,dz + \int_{0}^{5} r z^{2}\,dz.
  • Como r é constante em relação a z, temos
\int_{0}^{5} r^{3}\,dz = r^{3}\cdot(5-0)=5r^{3},
\int_{0}^{5} r z^{2}\,dz = r\cdot\left[\frac{z^{3}}{3}\right]_{0}^{5} = r\cdot\frac{5^{3}}{3} = r\cdot\frac{125}{3} = \frac{125}{3}\,r.
  • Somando,
\int_{0}^{5}\bigl(r^{3}+r z^{2}\bigr)\,dz = 5r^{3} + \frac{125}{3}\,r.

Passo 6

Integrar em r (segunda integral).
  • Agora avaliar
\int_{0}^{2}\left(5r^{3}+\frac{125}{3}r\right)\,dr = 5\int_{0}^{2} r^{3}\,dr + \frac{125}{3}\int_{0}^{2} r\,dr.
  • Calcular separadamente:
\int_{0}^{2} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{4}}{4} = \frac{16}{4}=4,
\int_{0}^{2} r\,dr = \left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{2}}{2} = \frac{4}{2}=2.
  • Substituindo:
5\cdot 4 + \frac{125}{3}\cdot 2 = 20 + \frac{250}{3}.
  • Colocando em uma única fração:
20 + \frac{250}{3} = \frac{60}{3} + \frac{250}{3} = \frac{310}{3}.

Passo 7

Integrar em \theta (última integração).
  • Agora o integrando restante é constante em \theta, então
m=\int_{0}^{2\pi} \frac{310}{3}\,d\theta = \frac{310}{3}\cdot\left[ \theta \right]_{0}^{2\pi} = \frac{310}{3}\cdot 2\pi = \frac{620\pi}{3}.

Passo 8

Interpretação do resultado e cheque rápido de consistência.
  • O resultado é um valor positivo e proporcional a \pi, como faz sentido por simetria circular.
  • Em forma decimal aproximada, \dfrac{620\pi}{3}\approx 648,0 (apenas para intuição). O valor exato é preferível.

Resposta

\dfrac{620\pi}{3}

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