Um objeto metálico é aquecido a 100^circ C e, em seguida, é colocado em um ambiente onde a temperatura é mantida constante em 25^circ C. Suponha que a taxa de resfriamento do objeto seja proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e o ambiente. Resolva a equação diferencial para encontrar a expressão da temperatura T(t) do objeto em função do tempo t.

Passo 1

O enunciado diz que um objeto metálico a 100°C é colocado em ambiente a 25°C, e que a taxa de resfriamento segue a Lei de Newton, ou seja, é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e o ambiente. Vamos usar EDO de primeira ordem e separação de variáveis.

Passo 2

Segundo a Lei do resfriamento de Newton, a equação diferencial que descreve a temperatura T(t) é
dTdt = -kl(T - 25r)
Agora fazemos separação de variáveis:
dTT - 25 = -k,dt

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dTT - 25 = -k integral dt implies ln|T - 25| = -kt + C

Passo 4

Exponenciando e definindo A = e^C, fica
T - 25 = A e^-kt

Passo 5

Usando a condição inicial T(0)=100:
100 - 25 = A e^0 implies A = 75

Passo 6

Portanto a solução geral com a constante ajustada é:
T(t) = 25 + 75 e^-k t

Resposta

T(t) = 25 + 75 e^-k t

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