Considere a região
do plano delimitada pelas curvas
e o sólido
obtido pela rotação de
em torno da reta
.
(a) Determine a área de
.
(b) Expresse o volume de
por uma integral utilizando o método das cascas cilíndricas ou o método das fatias. Não precisa calcular a integral.
(a) Determine a área de
(b) Expresse o volume de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a região
limitada pelas curvas
e o sólido
obtido ao girar
em torno da reta
.
Conteúdo: integração para área entre curvas e método das fatias (discos/aros) para volume.
Conteúdo: integração para área entre curvas e método das fatias (discos/aros) para volume.
Passo 2
Primeiro achamos onde as duas parábolas se cruzam, resolvendo
logo
Isso mostra que a projeção de
no eixo
é o intervalo
.
Passo 3
Para a área de
usamos
Calculando rapidamente, como a função é par, dá
Passo 4
Para o volume de
usamos o método das fatias (discos/aros).
Cada fatia vertical em gera, ao girar em torno de
, um aro de raio externo
Cada fatia vertical em
e raio interno
Passo 5
Assim o volume fica
Resposta
(a)
(b)
(b)