Considere a região R do plano delimitada pelas curvas y=x^2+1, y=9-x^2 e o sólido S obtido pela rotação de R em torno da reta y=-1.
(a) Determine a área de R.
(b) Expresse o volume de S por uma integral utilizando o método das cascas cilíndricas ou o método das fatias. Não precisa calcular a integral.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a região R limitada pelas curvas
y = x^2 + 1,
y = 9 - x^2
e o sólido S obtido ao girar R em torno da reta y=-1.
Conteúdo: integração para área entre curvas e método das fatias (discos/aros) para volume.

Passo 2

Primeiro achamos onde as duas parábolas se cruzam, resolvendo
x^2 + 1 = 9 - x^2
2x^2 = 8
x^2 = 4
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x = -2, x=2
Isso mostra que a projeção de R no eixo x é o intervalo [-2,2].

Passo 3

Para a área de R usamos
A = integralx=-2^2l(curva de cima - curva de baixor),dx = integral-2^2l[(9 - x^2)-(x^2+1)r],dx = integral-2^2(8 - 2x^2),dx
Calculando rapidamente, como a função é par, dá
A = 2integral0^2(8-2x^2),dx = 2l[8x - tfrac2x^33r]0^2 = 2l(16 - tfrac163r) = tfrac643

Passo 4

Para o volume de S usamos o método das fatias (discos/aros).
Cada fatia vertical em x gera, ao girar em torno de y=-1, um aro de raio externo
R(x) = (,yrm cima-(-1),) = (9 - x^2) - (-1) = 10 - x^2
e raio interno
r(x) = (,yrm baixo-(-1),) = (x^2+1) - (-1) = x^2 + 2

Passo 5

Assim o volume fica
V = integralx=-2^2pil[R(x)^2 - r(x)^2r],dx = integral-2^2pil[(10 - x^2)^2 - (x^2 + 2)^2r],dx

Resposta

(a) A(R) = 643
(b) V = integral-2^2pil[(10 - x^2)^2 - (x^2 + 2)^2r],dx

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