Encontre os pontos do gráfico de h(x)=2^xln 2 cdot cos x, x in[0,2 pi], com x neq pi2 e x neq 3 pi2, cuja reta tangente é horizontal.

Passo 1

O enunciado pede os pontos do gráfico de
h(x)=2^xln 2cdotcos x, xin[0,2pi],;xneqpi2,;3pi2,
onde a reta tangente é horizontal. Isso equivale a encontrar x tais que
h'(x)=0. Vamos usar regra do quociente e derivada de 2^x.

Passo 2

Definimos
f(x)=2^x, g(x)=ln2;cos x,
então
h'(x) =f'(x),g(x)-f(x),g'(x)[g(x)]^2
Como f'(x)=2^xln2 e g'(x)=-ln2;sin x, o numerador vira
2^xln2cdot(ln2cos x)-2^xcdot(-ln2sin x) =2^xln2l(ln2cos x+sin xr)
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h'(x) =2^xln2l(ln2cos x+sin xr)(ln2cos x)^2

Passo 3

Para ter tangente horizontal, impomos
h'(x)=0 Longrightarrow ln2cos x+sin x=0 Longrightarrow tan x=-ln2

Passo 4

Solução geral de tan x=-ln2 é
x=kpi-arctan(ln2), kinZ
No intervalo [0,2pi] caem exatamente
x1=pi-arctan(ln2), x2=2pi-arctan(ln2)

Passo 5

Agora obtemos as ordenadas
yi =h(xi) =2^xiln2;cos xi
Usando cos(pi-theta)=-costheta, cos(2pi-theta)=costheta e
cosl(arctan(ln2)r)=1/raiz1+(ln2)^2, resulta
y1 =2^pi-arctan(ln2)ln2;(-1/raiz1+(ln2)^2) =-2^pi-arctan(ln2)raiz1+(ln2)^2ln2,
y2 =2^2pi-arctan(ln2)ln2;(1/raiz1+(ln2)^2) =2^2pi-arctan(ln2)raiz1+(ln2)^2ln2

Resposta

Os pontos de tangente horizontal são
l(,pi-arctan(ln2),;-tfrac2^pi-arctan(ln2)raiz1+(ln2)^2ln2,r) e l(,2pi-arctan(ln2),;tfrac2^2pi-arctan(ln2)raiz1+(ln2)^2ln2,r)

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