Considere a relação alométrica entre o peso do cérebro
e o peso corporal
:
Considere também que a taxa de crescimento instantânea do peso corporal é diretamente proporcional ao peso do cérebro.
(a) Encontre uma Equação Diferencial que descreva a taxa de crescimento do peso corporal apenas em função do peso corporal.
(b) Resolva essa Equação Diferencial para encontrar uma expressão explícita para o peso corporal,
, em função do tempo.
(a) Encontre uma Equação Diferencial que descreva a taxa de crescimento do peso corporal apenas em função do peso corporal.
(b) Resolva essa Equação Diferencial para encontrar uma expressão explícita para o peso corporal,
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas retiradas do texto do problema):
- A relação alométrica entre peso do cérebro e peso corporal:
- A taxa de crescimento instantânea do peso corporal é diretamente proporcional ao peso do cérebro (ou seja, conforme o cérebro pesa mais, o corpo cresce mais rápido).
O enunciado pede:
(a) Encontrar uma equação diferencial que descreva a taxa de crescimento do peso corporal apenas em função do peso corporal.
(b) Resolver essa equação diferencial para obter uma expressão explícitaem função do tempo.
Passo 2
Transformar a frase "taxa de crescimento é diretamente proporcional a
" em equação matemática.
- “Diretamente proporcional” significa que existe uma constante positiva (vou chamar de
) tal que a taxa de variação do peso corporal é:
onde
é a constante de proporcionalidade (unidade: 1/tempo).
- Agora substituímos a relação alométrica
(usei a forma em vez de , ambas equivalentes) na equação acima. Isso nos dá a equação diferencial só em função de :
Passo 3
Classificar o tipo de equação e escolher método de resolução.
- A equação
é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e é separável: podemos escrever todos os termos com
de um lado e
do outro e integrar.
- Lembrete prático sobre integrais de potências: para
,
Aqui usaremos essa fórmula com
quando separarmos as variáveis.
Passo 4
Separar variáveis e integrar passo a passo.
- Começo escrevendo a equação de forma separável:
- Integro ambos os lados:
- Pela regra das potências, o lado esquerdo vale
- O lado direito integra diretamente:
onde
é a constante de integração. Assim obtemos
Passo 5
Isolar
para obter a solução explícita; impor condição inicial para escrever de forma prática.
- Resolvendo para
:
- Elevando à quarta potência:
- É mais habitual escrever a constante de integração em termos do valor inicial. Se houver uma condição inicial
, então em temos
portanto a solução com
fica
Passo 6
Verificação rápida (sanity check) por derivação.
- Diferenciando a solução com
:
- Como
, obtemos
ou seja, a solução satisfaz a equação original. Boa! Isso confirma que a integração foi feita corretamente.
Passo 7
Comentário final e interpretação rápida (um empurrãozinho motivador).
- A constante
mede o quanto o peso do cérebro influencia a taxa de ganho de peso corporal; traduz a escala da relação alométrica. - A solução mostra que
cresce linearmente no tempo, então cresce como a quarta potência dessa combinação linear — esse tipo de crescimento é mais rápido que linear, mas é um resultado direto da dependência na taxa.
Resposta
(a)
(b) Geral:
. \
Com condição inicial :
.
Com condição inicial