Considere a relação alométrica entre o peso do cérebro \text{(C)} e o peso corporal (P) :
C=k \cdot P^{0.75}
Considere também que a taxa de crescimento instantânea do peso corporal é diretamente proporcional ao peso do cérebro.
(a) Encontre uma Equação Diferencial que descreva a taxa de crescimento do peso corporal apenas em função do peso corporal.
(b) Resolva essa Equação Diferencial para encontrar uma expressão explícita para o peso corporal, P(t), em função do tempo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas retiradas do texto do problema):
  • A relação alométrica entre peso do cérebro e peso corporal:
C = k \cdot P^{0,75}
  • A taxa de crescimento instantânea do peso corporal é diretamente proporcional ao peso do cérebro (ou seja, conforme o cérebro pesa mais, o corpo cresce mais rápido).
    O enunciado pede:
    (a) Encontrar uma equação diferencial que descreva a taxa de crescimento do peso corporal apenas em função do peso corporal P.
    (b) Resolver essa equação diferencial para obter uma expressão explícita P(t) em função do tempo.

Passo 2

Transformar a frase "taxa de crescimento é diretamente proporcional a C" em equação matemática.
  • “Diretamente proporcional” significa que existe uma constante positiva (vou chamar de r) tal que a taxa de variação do peso corporal é:
\frac{dP}{dt} = r \cdot C,
onde r é a constante de proporcionalidade (unidade: 1/tempo).
  • Agora substituímos a relação alométrica C = k\,P^{3/4} (usei a forma \tfrac{3}{4} em vez de 0,75, ambas equivalentes) na equação acima. Isso nos dá a equação diferencial só em função de P:
\frac{dP}{dt} = r\,k\,P^{\tfrac{3}{4}}.

Passo 3

Classificar o tipo de equação e escolher método de resolução.
  • A equação
\frac{dP}{dt} = r\,k\,P^{\tfrac{3}{4}}
é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e é separável: podemos escrever todos os termos com P de um lado e t do outro e integrar.
  • Lembrete prático sobre integrais de potências: para m\neq -1,
\int P^{m}\,dP = \frac{P^{m+1}}{m+1}.
Aqui usaremos essa fórmula com m=-\tfrac{3}{4} quando separarmos as variáveis.

Passo 4

Separar variáveis e integrar passo a passo.
  • Começo escrevendo a equação de forma separável:
P^{-\tfrac{3}{4}}\,dP = r\,k\,dt.
  • Integro ambos os lados:
\int P^{-\tfrac{3}{4}}\,dP = \int r\,k\,dt.
  • Pela regra das potências, o lado esquerdo vale
\int P^{-\tfrac{3}{4}}\,dP = \frac{P^{-\tfrac{3}{4}+1}}{-\tfrac{3}{4}+1} = \frac{P^{\tfrac{1}{4}}}{\tfrac{1}{4}} = 4\,P^{\tfrac{1}{4}}.
  • O lado direito integra diretamente:
\int r\,k\,dt = r\,k\,t + C_1,
onde C_1 é a constante de integração. Assim obtemos
4\,P^{\tfrac{1}{4}} = r\,k\,t + C_1.

Passo 5

Isolar P para obter a solução explícita; impor condição inicial para escrever de forma prática.
  • Resolvendo para P^{1/4}:
P^{\tfrac{1}{4}} = \frac{r\,k\,t + C_1}{4}.
  • Elevando à quarta potência:
P(t) = \left(\frac{r\,k\,t + C_1}{4}\right)^{4}.
  • É mais habitual escrever a constante de integração em termos do valor inicial. Se houver uma condição inicial P(0)=P_0, então em t=0 temos
4\,P_0^{\tfrac{1}{4}} = C_1,
portanto a solução com P(0)=P_0 fica
P(t) = \left(P_0^{\tfrac{1}{4}} + \frac{r\,k}{4}\,t\right)^{4}.

Passo 6

Verificação rápida (sanity check) por derivação.
  • Diferenciando a solução com P_0:
\frac{dP}{dt} = 4\left(P_0^{\tfrac{1}{4}} + \frac{r\,k}{4}t\right)^{3}\cdot\frac{r\,k}{4} = r\,k\left(P_0^{\tfrac{1}{4}} + \frac{r\,k}{4}t\right)^{3}.
  • Como \left(P_0^{\tfrac{1}{4}} + \dfrac{r\,k}{4}t\right)^{3} = \big(P(t)\big)^{\tfrac{3}{4}}, obtemos
\frac{dP}{dt} = r\,k\,P^{\tfrac{3}{4}},
ou seja, a solução satisfaz a equação original. Boa! Isso confirma que a integração foi feita corretamente.

Passo 7

Comentário final e interpretação rápida (um empurrãozinho motivador).
  • A constante r mede o quanto o peso do cérebro influencia a taxa de ganho de peso corporal; k traduz a escala da relação alométrica.
  • A solução mostra que P(t)^{1/4} cresce linearmente no tempo, então P(t) cresce como a quarta potência dessa combinação linear — esse tipo de crescimento é mais rápido que linear, mas é um resultado direto da dependência P^{3/4} na taxa.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dP}{dt} = r\,k\,P^{\tfrac{3}{4}}
(b) Geral: \displaystyle P(t)=\left(\frac{r\,k\,t + C_1}{4}\right)^{4}. \
Com condição inicial P(0)=P_0: \displaystyle P(t)=\left(P_0^{\tfrac{1}{4}}+\frac{r\,k}{4}\,t\right)^{4}.

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