Resolva as Equações homogêneas abaixo.
\left(x^{2} e^{-y / x}+y^{2}\right) d x=x y d y.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(x^{2} e^{-y / x}+y^{2}\right)\,dx = x y\,dy.
O que se pede: encontrar a solução geral da equação diferencial (isto é, resolver para y em função de x, ao menos implicitamente), incluindo a constante de integração.
Informações relevantes do enunciado:
  • A equação envolve as variáveis x e y e as diferenciais dx e dy.
  • Os coeficientes são funções de x e de y: à esquerda temos x^{2} e^{-y/x}+y^{2} multiplicando dx; à direita aparece x y multiplicando dy.
  • A solução pedida é a solução geral (com constante de integração).

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar a equação na forma \dfrac{dy}{dx}=\text{(algo)} para ver se o lado direito é função de \dfrac{y}{x} (o que permite um método padrão). Dividindo ambos os lados por dx e por x y (assumindo x\neq0 e y\neq0 quando necessário), obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2} e^{-y/x}+y^{2}}{x y}.
Agora vamos escrever o numerador em termos de x fatorado:
x^{2} e^{-y/x}+y^{2}=x^{2}\Bigl(e^{-y/x}+\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)^{2}\Bigr).
Substituindo na razão:
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}\bigl(e^{-y/x}+(\tfrac{y}{x})^{2}\bigr)}{x y} =\frac{e^{-y/x}+(\tfrac{y}{x})^{2}}{\tfrac{y}{x}}.
Conclui-se que o lado direito é função apenas da razão \dfrac{y}{x}. Ou seja, a equação é do tipo que admite a substituição \,y= v x (com v=\tfrac{y}{x}).

Passo 3

Fazer a substituição padrão y=vx. Primeiro calcule \dfrac{dy}{dx} em função de v e de x. Como y=vx,
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Agora substitua \dfrac{y}{x}=v e \dfrac{dy}{dx} na expressão obtida no passo anterior:
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{e^{-v}+v^{2}}{v}.

Passo 4

Isolar o termo com \dfrac{dv}{dx}. Subtraindo v de ambos os lados:
x\frac{dv}{dx}=\frac{e^{-v}+v^{2}}{v}-v.
Simplifique o lado direito:
\frac{e^{-v}+v^{2}}{v}-v=\frac{e^{-v}}{v}+\frac{v^{2}}{v}-v=\frac{e^{-v}}{v}+v-v=\frac{e^{-v}}{v}.
Logo a equação para v fica
x\frac{dv}{dx}=\frac{e^{-v}}{v}.

Passo 5

Separar variáveis para integrar. Reescrevendo:
\frac{dv}{dx}=\frac{e^{-v}}{v x}.
Multiplicando ambos os lados por v e^{v} e por dx, obtemos a forma separada
v e^{v}\,dv=\frac{dx}{x}.
Agora integramos ambos os lados: a integral do lado direito é simples, a do esquerdo pede uma técnica básica.

Passo 6

Calcular as integrais.
  • Integral do lado direito:
\int \frac{dx}{x}=\ln|x| + C_1.
  • Integral do lado esquerdo: \displaystyle \int v e^{v}\,dv. Usamos integração por partes ou reconhecemos uma primitiva conhecida. Fazendo por partes: escolha u=v e dw=e^{v}dv; então du=dv e w=e^{v}. Assim
\int v e^{v}\,dv = v e^{v} - \int e^{v}\,dv = v e^{v} - e^{v} + C_2 = e^{v}(v-1)+C_2.
Igualando as integrais (absorvendo constantes em uma única constante C):
e^{v}(v-1)=\ln|x| + C.

Passo 7

Voltar à variável original y. Lembremos que v=\dfrac{y}{x}. Substituindo v na expressão obtida:
e^{y/x}\!\Bigl(\dfrac{y}{x}-1\Bigr)=\ln|x|+C.
Esta é a solução implícita geral da equação diferencial. Pode-se reescrever de forma equivalente, por exemplo,
e^{y/x}\!\Bigl(\dfrac{y}{x}-1\Bigr)-\ln|x|=C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

e^{y/x}\!\Bigl(\dfrac{y}{x}-1\Bigr)=\ln|x|+C

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