Resolva as Equações homogêneas abaixo.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que se pede: encontrar a solução geral da equação diferencial (isto é, resolver para
em função de
, ao menos implicitamente), incluindo a constante de integração.
Informações relevantes do enunciado:
- A equação envolve as variáveis
e e as diferenciais e . - Os coeficientes são funções de
e de : à esquerda temos multiplicando ; à direita aparece multiplicando . - A solução pedida é a solução geral (com constante de integração).
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar a equação na forma
para ver se o lado direito é função de
(o que permite um método padrão). Dividindo ambos os lados por
e por
(assumindo
e
quando necessário), obtemos
Agora vamos escrever o numerador em termos de
fatorado:
Substituindo na razão:
Conclui-se que o lado direito é função apenas da razão
. Ou seja, a equação é do tipo que admite a substituição
(com
).
Passo 3
Fazer a substituição padrão
. Primeiro calcule
em função de
e de
. Como
,
Agora substitua
e
na expressão obtida no passo anterior:
Passo 4
Isolar o termo com
. Subtraindo
de ambos os lados:
Simplifique o lado direito:
Logo a equação para
fica
Passo 5
Separar variáveis para integrar. Reescrevendo:
Multiplicando ambos os lados por
e por
, obtemos a forma separada
Agora integramos ambos os lados: a integral do lado direito é simples, a do esquerdo pede uma técnica básica.
Passo 6
Calcular as integrais.
- Integral do lado direito:
- Integral do lado esquerdo:
. Usamos integração por partes ou reconhecemos uma primitiva conhecida. Fazendo por partes: escolha e ; então e . Assim
Igualando as integrais (absorvendo constantes em uma única constante
):
Passo 7
Voltar à variável original
. Lembremos que
. Substituindo
na expressão obtida:
Esta é a solução implícita geral da equação diferencial. Pode-se reescrever de forma equivalente, por exemplo,
onde
é a constante de integração.