Q2: Considere as retas em \mathbb{R}^{2} :
\left[\begin{array}{l}-4 \\\\ -8\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}-1 \\\\ -4\end{array}\right]\right\} e \left[\begin{array}{l}-11 \\\\ -20\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}-3 \\\\ -4\end{array}\right]\right\}.
Calcule o ponto (x, y) em que estas duas retas se interceptam. O valor da entrada x é:
(A) -6
(B) -5
(C) -4
(B) -3
(E) -2
(F) -1

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^{2} e pede o ponto de interseção (x,y). As retas são (copiado do enunciado):
\begin{bmatrix}-4\\[4pt]-8\end{bmatrix}+\operatorname{span}\left\{\begin{bmatrix}-1\\[4pt]-4\end{bmatrix}\right\}
e
\begin{bmatrix}-11\\[4pt]-20\end{bmatrix}+\operatorname{span}\left\{\begin{bmatrix}-3\\[4pt]-4\end{bmatrix}\right\}.
O que foi pedido:
  • Calcular o ponto (x,y) onde as duas retas se interceptam.
  • Determinar o valor da entrada x entre as opções fornecidas.
Informações relevantes dadas:
  • Ponto base da primeira reta: \begin{bmatrix}-4\\[4pt]-8\end{bmatrix}.
  • Vetor diretor da primeira reta: \begin{bmatrix}-1\\[4pt]-4\end{bmatrix}.
  • Ponto base da segunda reta: \begin{bmatrix}-11\\[4pt]-20\end{bmatrix}.
  • Vetor diretor da segunda reta: \begin{bmatrix}-3\\[4pt]-4\end{bmatrix}.]

Passo 2

Vamos escrever as duas retas em forma paramétrica usando parâmetros distintos: para a primeira reta use t e para a segunda use s.
Para a primeira reta:
\begin{cases} x = -4 + t(-1) = -4 - t,\\[4pt] y = -8 + t(-4) = -8 - 4t. \end{cases}
Para a segunda reta:
\begin{cases} x = -11 + s(-3) = -11 - 3s,\\[4pt] y = -20 + s(-4) = -20 - 4s. \end{cases}]

Passo 3

No ponto de interseção os pares (x,y) são iguais nas duas retas, portanto igualamos as componentes x e y, obtendo o sistema em t e s:
\begin{cases} -4 - t = -11 - 3s,\\[4pt] -8 - 4t = -20 - 4s. \end{cases}]

Passo 4

Resolvendo o sistema: comece pela segunda equação, que é mais simples para eliminar constantes semelhantes.
-8 - 4t = -20 - 4s.
Isolando termos com t e s:
-4t + 4s = -20 + 8 = -12.
Dividindo por 4:
-t + s = -3.
Logo
s = t - 3.

Passo 5

Substitua s = t-3 na primeira equação:
-4 - t = -11 - 3s = -11 - 3(t-3).
Calcule o lado direito:
-11 - 3(t-3) = -11 - 3t + 9 = -3t - 2.
Assim:
-4 - t = -3t - 2.
Isolando t:
- t + 3t = -2 + 4 \quad\Rightarrow\quad 2t = 2 \quad\Rightarrow\quad t = 1.
Então
s = t - 3 = 1 - 3 = -2.

Passo 6

Agora obtenha o ponto de interseção substituindo t=1 em uma das parametrizações (uso a primeira):
x = -4 - t = -4 - 1 = -5,
y = -8 - 4t = -8 - 4\cdot 1 = -12.
Verificação rápida: usando s=-2 na segunda reta,
x = -11 - 3s = -11 - 3(-2) = -11 + 6 = -5,
y = -20 - 4s = -20 - 4(-2) = -20 + 8 = -12,
confirmando que ambos dão o mesmo ponto (-5,-12).

Resposta

B) -5

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