Um sistema linear tem m equações em n variáveis. Considere as afirmativas abaixo:
I. Se m<n, a solução, se existe, não é única.
II. O sistema pode ter infinitas soluções, mesmo quando m>n
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado diz: temos um sistema linear com m equações e n variáveis. Devemos verificar a veracidade das duas afirmativas:
I. Se m<n, a solução, se existe, não é única.
II. O sistema pode ter infinitas soluções, mesmo quando m>n.
O objetivo é decidir quais afirmações são verdadeiras ou falsas e escolher a alternativa correta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de conceitos essenciais (devagarinho, sem pressa):
Um sistema linear pode ser escrito na forma matricial \,A x = b\,, onde A é uma matriz m\times n, x\in\mathbb{R}^{n} é o vetor incógnita e b\in\mathbb{R}^{m} é o vetor dos termos constantes.
Dizemos que o sistema é consistente se existe pelo menos um x tal que \,A x = b. Caso contrário, é inconsistente (não tem solução).
A solução, quando existe, é o conjunto de todos os vetores x que satisfazem \,A x = b. Se houver exatamente um vetor, dizemos que a solução é única; se houver mais de um (na prática, infinitos), dizemos que há infinitas soluções.
Dois conceitos lineares importantes:
\operatorname{rank}(A) é o posto da matriz A: o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes.
\ker(A)=\{x\in\mathbb{R}^{n}\mid A x=0\} é o núcleo (espaço nulo) da matriz A. A dimensão de \ker(A) é chamada nulidade.
Teorema fundamental (teoria básica de espaços lineares): para uma matriz A de tamanho m\times n vale
\dim\ker(A)=n-\operatorname{rank}(A).
Além disso \operatorname{rank}(A)\le\min(m,n).
Se o sistema \,A x=b\, for consistente e x_{p} é uma solução particular, então o conjunto de todas as soluções é
\{\,x_p + v \mid v\in\ker(A)\,\}.
Ou seja, soluções = solução particular + núcleo. Assim:
Se \ker(A)=\{0\} (nulidade 0), então a solução consistente é única.
Se \ker(A) tem dimensão \ge 1, então, quando consistente, há infinitas soluções (porque pode-se adicionar qualquer vetor não-nulo do núcleo, com escalares reais, gerando uma família infinita de soluções).
Passo 3
Análise da afirmativa I: “Se m<n, a solução, se existe, não é única.”
Como \operatorname{rank}(A)\le\min(m,n), quando m<n temos \operatorname{rank}(A)\le m < n. Logo \operatorname{rank}(A)<n.
Pela fórmula da nulidade,\dim\ker(A)=n-\operatorname{rank}(A)\ge n - (n-1) = 1,isto é, a nulidade é pelo menos 1, então \ker(A) contém vetores não nulos.
Portanto, se o sistema é consistente (existe ao menos um x_p com A x_p=b), o conjunto de soluções é x_p + \ker(A) e como \ker(A) não é apenas o vetor zero, existem infinitas soluções.
Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
Exemplo concreto (para fixar): m=1,n=2, sistema x+y=1. Há infinitas soluções do tipo (x,t)=(t,1-t).
Passo 4
Análise da afirmativa II: “O sistema pode ter infinitas soluções, mesmo quando [m>n).”
Quando m>n, o posto satisfaz \operatorname{rank}(A)\le n. Pode acontecer que \operatorname{rank}(A)=n (posto máximo) ou que \operatorname{rank}(A)<n.
Se \operatorname{rank}(A)=n e o sistema for consistente, então \dim\ker(A)=n-n=0 e a solução consistente seria única.
Se \operatorname{rank}(A)<n, então \dim\ker(A)=n-\operatorname{rank}(A)\ge 1, e se o sistema for consistente haverá infinitas soluções.
Portanto é perfeitamente possível ter infinitas soluções mesmo com m>n, desde que as equações sejam linearmente dependentes entre si de modo que o posto fique menor que n.
As três equações são múltiplos umas das outras, o posto é 1<2\], o sistema é consistente e as soluções são todas as pares \((x,y)=(t,1-t) — infinitas soluções. Assim a afirmativa II é verdadeira.
Também é útil notar que quando m>n o sistema pode igualmente ser inconsistente (nenhuma solução), se houver equações contraditórias. Mas isso não impede que existam casos com infinitas soluções.]
Passo 5
Resumo final da análise lógica:
I é verdadeira: com menos equações que variáveis (m<n) o núcleo tem dimensão positiva, logo, se houver solução, ela não é única (há infinitas soluções).
II é verdadeira: mesmo com mais equações que variáveis (m>n) é possível que as equações sejam dependentes e o posto fique <n; nesse caso, quando consistente, o sistema tem infinitas soluções.