Um sistema linear tem m equações em n variáveis. Considere as afirmativas abaixo:
I. Se m<n, a solução, se existe, não é única.
II. O sistema pode ter infinitas soluções, mesmo quando m>n
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado diz: temos um sistema linear com m equações e n variáveis. Devemos verificar a veracidade das duas afirmativas:
I. Se m<n, a solução, se existe, não é única.
II. O sistema pode ter infinitas soluções, mesmo quando m>n.
O objetivo é decidir quais afirmações são verdadeiras ou falsas e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de conceitos essenciais (devagarinho, sem pressa):
  • Um sistema linear pode ser escrito na forma matricial \,A x = b\,, onde A é uma matriz m\times n, x\in\mathbb{R}^{n} é o vetor incógnita e b\in\mathbb{R}^{m} é o vetor dos termos constantes.
  • Dizemos que o sistema é consistente se existe pelo menos um x tal que \,A x = b. Caso contrário, é inconsistente (não tem solução).
  • A solução, quando existe, é o conjunto de todos os vetores x que satisfazem \,A x = b. Se houver exatamente um vetor, dizemos que a solução é única; se houver mais de um (na prática, infinitos), dizemos que há infinitas soluções.
  • Dois conceitos lineares importantes:
    • \operatorname{rank}(A) é o posto da matriz A: o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes.
    • \ker(A)=\{x\in\mathbb{R}^{n}\mid A x=0\} é o núcleo (espaço nulo) da matriz A. A dimensão de \ker(A) é chamada nulidade.
  • Teorema fundamental (teoria básica de espaços lineares): para uma matriz A de tamanho m\times n vale
    \dim\ker(A)=n-\operatorname{rank}(A).
    Além disso \operatorname{rank}(A)\le\min(m,n).
  • Se o sistema \,A x=b\, for consistente e x_{p} é uma solução particular, então o conjunto de todas as soluções é
    \{\,x_p + v \mid v\in\ker(A)\,\}.
    Ou seja, soluções = solução particular + núcleo. Assim:
    • Se \ker(A)=\{0\} (nulidade 0), então a solução consistente é única.
    • Se \ker(A) tem dimensão \ge 1, então, quando consistente, há infinitas soluções (porque pode-se adicionar qualquer vetor não-nulo do núcleo, com escalares reais, gerando uma família infinita de soluções).

Passo 3

Análise da afirmativa I: “Se m<n, a solução, se existe, não é única.”
  • Como \operatorname{rank}(A)\le\min(m,n), quando m<n temos \operatorname{rank}(A)\le m < n. Logo \operatorname{rank}(A)<n.
  • Pela fórmula da nulidade, \dim\ker(A)=n-\operatorname{rank}(A)\ge n - (n-1) = 1,isto é, a nulidade é pelo menos 1, então \ker(A) contém vetores não nulos.
  • Portanto, se o sistema é consistente (existe ao menos um x_p com A x_p=b), o conjunto de soluções é x_p + \ker(A) e como \ker(A) não é apenas o vetor zero, existem infinitas soluções.
  • Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
Exemplo concreto (para fixar): m=1,n=2, sistema x+y=1. Há infinitas soluções do tipo (x,t)=(t,1-t).

Passo 4

Análise da afirmativa II: “O sistema pode ter infinitas soluções, mesmo quando [m>n).”
  • Quando m>n, o posto satisfaz \operatorname{rank}(A)\le n. Pode acontecer que \operatorname{rank}(A)=n (posto máximo) ou que \operatorname{rank}(A)<n.
  • Se \operatorname{rank}(A)=n e o sistema for consistente, então \dim\ker(A)=n-n=0 e a solução consistente seria única.
  • Se \operatorname{rank}(A)<n, então \dim\ker(A)=n-\operatorname{rank}(A)\ge 1, e se o sistema for consistente haverá infinitas soluções.
  • Portanto é perfeitamente possível ter infinitas soluções mesmo com m>n, desde que as equações sejam linearmente dependentes entre si de modo que o posto fique menor que n.
Exemplo concreto: tome n=2, m=3 e o sistema
\begin{cases} x+y=1,\\[2pt] 2x+2y=2,\\[2pt] 3x+3y=3. \end{cases}
As três equações são múltiplos umas das outras, o posto é 1<2\], o sistema é consistente e as soluções são todas as pares \((x,y)=(t,1-t) — infinitas soluções. Assim a afirmativa II é verdadeira.
Também é útil notar que quando m>n o sistema pode igualmente ser inconsistente (nenhuma solução), se houver equações contraditórias. Mas isso não impede que existam casos com infinitas soluções.]

Passo 5

Resumo final da análise lógica:
  • I é verdadeira: com menos equações que variáveis ( m<n) o núcleo tem dimensão positiva, logo, se houver solução, ela não é única (há infinitas soluções).
  • II é verdadeira: mesmo com mais equações que variáveis ( m>n) é possível que as equações sejam dependentes e o posto fique <n; nesse caso, quando consistente, o sistema tem infinitas soluções.
Força aí — as duas afirmativas são verdadeiras.

Resposta

(D)

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