Considere o rotor de um compressor axial com rigidez de 1,4 * 10^7 N / m operando a 6000 rpm e cuja razão de amortecimento (zeta) é de 0,05 . A massa do rotor é de 55 kg e se estimou que a maior excentricidade deste componente é de aproximadamente a= 0,001[m]. Calcule a) a velocidade crítica do rotor; b) a amplitude X na velocidade de operação e c) a máxima amplitude do rotor na velocidade crítica.
|xde
l ZY=r^2raiz(1-r^2)^2+(2 ell r)^2 mu=m2m1 r1=Omega1omega2 e r2=Omega2omega2 k2 X2=m2 omega^2 X2=-F0 r1^2, r2^2=(1+mu2) mp raiz(1+mu2)^2-1
X=a r^2raiz(1-r^2)^2+(2 zeta r)^2 r=omegaomegan

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão é de vibração mecânica (sistemas massa–mola–amortecedor). Temos um rotor com:
  • rigidez X = a,r^2raiz(1 - r^2)^2 + (2zeta r)^2 ,
  • massa ,
  • amortecimento ,
  • excentricidade máxima ,
  • velocidade de operação 6000 rpm.
O que a gente precisa:
a) achar a velocidade crítica (frequência natural do sistema),
b) calcular a amplitude na velocidade de operação,
c) achar a amplitude máxima quando operar exatamente na crítica.
Para isso vamos usar:
  • frequência natural ,
  • fator de frequência com sendo a rotação real em rad/s,
  • fórmula da amplitude forçada

Passo 2

Vamos calcular a frequência natural e a velocidade crítica.
  1. Converte 6000 rpm para rad/s só pra referência:
6000 rpm = 6000/60 = 100 Hz, omega = 100cdot2pi = 200pi approx 628,32 rad/s
  1. Frequência natural:
omegan = raizkm = raiz1,4times10^755 = raiz254545,45approx 504,53 rad/s
  1. Em Hz e rpm:
fn = omegan2pi approx 504,532piapprox 80,33 Hz,
Nrm cr = fncdot60 approx 80,33times60 approx 4819,8 rpm

Passo 3

Agora a amplitude r = omegaomegan = 628,32504,53approx1,246 na rotação de operação (6000 rpm).
  1. Calcula o fator X = a,r^2raiz(1 - r^2)^2 + (2zeta r)^2 = 0,001 times (1,246)^2raiz(1 - 1,246^2)^2 + (2cdot0,05cdot1,246)^2 :
X approx 0,00155250,5664approx0,002742 m
  1. Usa a fórmula
Calculando passo a passo:
  • ,
  • ,
  • ,
  • denom = ,
  • num = .
Então
ou seja, ~2,74 mm.

Passo 4

Amplitude máxima na ressonância (quando Xmax = a2zeta = 0,0012times0,05 = 0,0010,1 = 0,01 m, ).
Nesse caso a fórmula simplifica pra
ou seja, 10 mm.

Resposta

a) Velocidade crítica .
b) Amplitude na operação (6000 rpm): .
c) Amplitude máxima na crítica: .

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