Considere um satélite em orbita circular próxima da superfície de um planeta de raio R_{P}, onde a aceleração é g_{P}. (a) Calcule a variação de velocidade \Delta v do satélite necessária para atingir a velocidade de escape partindo dessa órbita. (b) Aplique o resultado à Terra, desprezando os efeitos da atmosfera.
Resposta: \Delta v=\sqrt{g_{P} R_{P}}(\sqrt{2}-1) e \Delta v=3,27 \mathrm{~km} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Um satélite descreve uma órbita circular muito próxima da superfície de um planeta de raio R_{P}.
  • A aceleração gravitacional na superfície do planeta é g_{P}.
    O enunciado pede:
    (a) calcular a variação de velocidade \Delta v necessária para que o satélite, partindo dessa órbita circular, atinja a velocidade de escape;
    (b) aplicar o resultado ao caso da Terra, desprezando a atmosfera, e obter o valor numérico de \Delta v.

Passo 2

Entender a velocidade orbital circular: para um corpo de massa m em órbita circular de raio R em torno de uma massa M, a força centrípeta necessária \dfrac{m v_{c}^{2}}{R} vem da gravidade \dfrac{G M m}{R^{2}}. Igualando-as obtemos
\frac{m v_{c}^{2}}{R}=\frac{G M m}{R^{2}}.
Aqui:
  • v_{c} é a velocidade orbital circular;
  • G é a constante gravitacional universal;
  • M é a massa do planeta;
  • R é o raio da órbita (aqui R=R_{P});
  • m é a massa do satélite (vai cancelar).
    Cancelando m e resolvendo para v_{c} temos
v_{c}=\sqrt{\frac{G M}{R}}.

Passo 3

Entender a velocidade de escape: a condição para escapar é que a energia mecânica total (cinética + potencial) seja maior ou igual a zero. Partindo de R e impondo energia total zero,
\frac{1}{2}m v_{\mathrm{esc}}^{2}-\frac{G M m}{R}=0.
Daí
v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{\frac{2 G M}{R}}.
Explicação intencional: essa fórmula diz a mínima velocidade, medida naquele ponto, que torna a energia total não-negativa; com essa velocidade a partícula chega ao infinito com velocidade zero (caso limite).

Passo 4

Relacionar G M com g_{P} e R_{P}: a aceleração gravitacional na superfície é
g_{P}=\frac{G M}{R_{P}^{2}}.
Logo
G M=g_{P} R_{P}^{2}.
Substituindo esse G M nas expressões de v_{c} e v_{\mathrm{esc}} com R=R_{P} obtemos
v_{c}=\sqrt{\frac{g_{P} R_{P}^{2}}{R_{P}}}=\sqrt{g_{P} R_{P}}
e
v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{\frac{2 g_{P} R_{P}^{2}}{R_{P}}}=\sqrt{2 g_{P} R_{P}}.

Passo 5

Determinar \Delta v: se o foguete faz um impulso instantâneo tangencial (na mesma direção da velocidade orbital), as velocidades somam escalarmente e a mínima variação de velocidade necessária para alcançar a velocidade de escape naquele ponto é
\Delta v=v_{\mathrm{esc}}-v_{c}.
Substituindo as fórmulas do passo anterior,
\Delta v=\sqrt{2 g_{P} R_{P}}-\sqrt{g_{P} R_{P}}=\sqrt{g_{P} R_{P}}(\sqrt{2}-1).
Comentário didático: escolher a direção tangencial é ótimo porque já se tem velocidade orbital; aumentar nessa mesma direção leva ao maior ganho de energia com o menor \Delta v instantâneo (direções distintas exigiriam componentes que aumentam mais a norma da velocidade).

Passo 6

Aplicação numérica para a Terra (desprezando atmosfera). Usar os valores típicos
g_{\oplus}=9,80\\ \mathrm{m/s^{2}},\qquad R_{\oplus}=6,371\times10^{3}\\ \mathrm{m}=6,371\times10^{3}\\ \mathrm{m}.
Calcular primeiro \sqrt{g_{\oplus}R_{\oplus}}:
g_{\oplus}R_{\oplus}=9,80\cdot 6{,}371\times10^{3}=6{,}24358\times10^{7}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
\sqrt{g_{\oplus}R_{\oplus}}\approx 7{,}90065\\ \mathrm{m/s}.
Agora aplicar o fator \sqrt{2}-1\approx 0{,}41421356:
\Delta v=\sqrt{g_{\oplus}R_{\oplus}}(\sqrt{2}-1)\approx 7{,}90065\cdot 0{,}41421356\\ \mathrm{m/s}\approx 3{,}2696\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
Convertendo para km/s e arredondando a duas casas decimais:
\Delta v\approx 3,27\\ \mathrm{km/s}.
Cheque rápido (intuitivo): v_{c}\approx 7{,}90\\ \mathrm{km/s}, v_{\mathrm{esc}}\approx 11{,}17\\ \mathrm{km/s}, diferença \approx 3{,}27\\ \mathrm{km/s}, consistente.

Resposta

\Delta v=\sqrt{g_{P} R_{P}}(\sqrt{2}-1)
\Delta v=3,27\\ \mathrm{km/s}

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