Considere um satélite em orbita circular próxima da superfície de um planeta de raio
, onde a aceleração é
. (a) Calcule a variação de velocidade
do satélite necessária para atingir a velocidade de escape partindo dessa órbita. (b) Aplique o resultado à Terra, desprezando os efeitos da atmosfera.
Resposta:
e
Resposta:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Um satélite descreve uma órbita circular muito próxima da superfície de um planeta de raio
. - A aceleração gravitacional na superfície do planeta é
.
O enunciado pede:
(a) calcular a variação de velocidadenecessária para que o satélite, partindo dessa órbita circular, atinja a velocidade de escape;
(b) aplicar o resultado ao caso da Terra, desprezando a atmosfera, e obter o valor numérico de.
Passo 2
Entender a velocidade orbital circular: para um corpo de massa
em órbita circular de raio
em torno de uma massa
, a força centrípeta necessária
vem da gravidade
. Igualando-as obtemos
Aqui:
-
é a velocidade orbital circular; -
é a constante gravitacional universal; -
é a massa do planeta; -
é o raio da órbita (aqui ); -
é a massa do satélite (vai cancelar).
Cancelandoe resolvendo para temos
Passo 3
Entender a velocidade de escape: a condição para escapar é que a energia mecânica total (cinética + potencial) seja maior ou igual a zero. Partindo de
e impondo energia total zero,
Daí
Explicação intencional: essa fórmula diz a mínima velocidade, medida naquele ponto, que torna a energia total não-negativa; com essa velocidade a partícula chega ao infinito com velocidade zero (caso limite).
Passo 4
Relacionar
com
e
: a aceleração gravitacional na superfície é
Logo
Substituindo esse
nas expressões de
e
com
obtemos
e
Passo 5
Determinar
: se o foguete faz um impulso instantâneo tangencial (na mesma direção da velocidade orbital), as velocidades somam escalarmente e a mínima variação de velocidade necessária para alcançar a velocidade de escape naquele ponto é
Substituindo as fórmulas do passo anterior,
Comentário didático: escolher a direção tangencial é ótimo porque já se tem velocidade orbital; aumentar nessa mesma direção leva ao maior ganho de energia com o menor
instantâneo (direções distintas exigiriam componentes que aumentam mais a norma da velocidade).
Passo 6
Aplicação numérica para a Terra (desprezando atmosfera). Usar os valores típicos
Calcular primeiro
:
Agora aplicar o fator
:
Convertendo para km/s e arredondando a duas casas decimais:
Cheque rápido (intuitivo):
,
, diferença
, consistente.