(a) Por que é correto afirmar, que um planeta em movimento circular, com o Sol no centro da trajetória circular, satisfaz a primeira lei de Kepler? (b) Mostre que este movimento circular é uniforme (M.C.U.) se e somente se a segunda lei de Kepler for satisfeita. (c) Impondo a terceira lei de Kepler a este M.C.U., demonstre que a força gravitacional entre o Sol e o Planeta tem que ser inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles.

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado pede e quais informações são dadas.
  • O enunciado apresenta um planeta descrevendo uma trajetória circular de raio R com o Sol situado no centro dessa circunferência.
  • O enunciado pede três coisas:
    (a) Por que é correto afirmar que esse movimento satisfaz a primeira lei de Kepler.
    (b) Mostrar que esse movimento circular é movimento circular uniforme (M.C.U.) se, e somente se, a segunda lei de Kepler for satisfeita.
    (c) Impondo a terceira lei de Kepler ao M.C.U. do planeta, demonstrar que a força gravitacional entre o Sol e o planeta deve variar inversamente com o quadrado da distância (isto é, F\propto 1/R^2).
Informações úteis que vamos usar (definições que o enunciado pressupõe):
  • A primeira lei de Kepler: os planetas descrevem elipses com o Sol em um dos focos.
  • A segunda lei de Kepler: o segmento que liga o Sol ao planeta varre áreas iguais em tempos iguais (taxa areal constante).
  • A terceira lei de Kepler: para órbitas em torno do mesmo corpo central, o quadrado do período T é proporcional ao cubo do semieixo maior a; isto é, T^2\propto a^3. Para órbita circular, o semieixo maior a é igual ao raio R.

Passo 2

Parte (a). Entender por que uma circunferência com o Sol no centro é um caso particular da primeira lei (óptica geométrica da elipse).
Explicação didática sobre elipse e foco:
  • Uma elipse é o conjunto dos pontos cuja soma das distâncias a duas posições fixas (os focos) é constante. Em coordenadas padrão, a elipse centrada na origem tem a equação
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,
onde a é o semieixo maior, b é o semieixo menor.
  • A distância do centro ao foco é denotada por c, dada por
c=\sqrt{a^2-b^2}.
  • A excentricidade da elipse é \displaystyle e=\frac{c}{a}. Quando \;e=0\; a elipse é degenerada em um círculo.
Aplicando isso ao caso especial do círculo:
  • Para um círculo de raio R, podemos identificar a=b=R. Então
c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{R^2-R^2}=0,
logo a(s) distância(s) do centro aos focos é(não) zero: os dois focos coincidem com o centro da curva.
  • Portanto, uma circunferência é uma elipse com excentricidade e=0 e com os focos coincidindo no centro.
Conclusão para (a):
  • A primeira lei de Kepler exige que a órbita seja uma elipse com o Sol em um dos focos. No caso circular, os dois focos coincidem com o centro, então colocar o Sol no centro é exatamente colocá‑lo num foco (os focos coincidentes). Assim, um movimento circular com o Sol no centro é um caso particular da primeira lei de Kepler. (Resposta conceitual: porque um círculo é uma elipse especial com excentricidade zero, cujos focos coincidem no centro.)

Passo 3

Parte (b) — preparar as ferramentas: área varrida e relação velocidade-angular.
Definições e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
  • Para uma órbita circular de raio R, o vetor posição do planeta em relação ao Sol pode ser representado pelo raio vetor que forma um ângulo \theta(t) com alguma referência.
  • Se o planeta percorre um arco com variação angular d\theta num intervalo de tempo dt, o comprimento do arco é ds=R\,d\theta.
  • A velocidade tangencial (linear) do planeta é
v=\frac{ds}{dt}=R\frac{d\theta}{dt}.
Aqui v é a rapidez escalar (módulo da velocidade), R é o raio da órbita e \dfrac{d\theta}{dt} é a velocidade angular (às vezes escrita \omega).
Área varrida em um pequeno intervalo de tempo:
  • O pequeno setor circular formado pelo raio vetor quando o ângulo varia d\theta tem área
dA=\frac{1}{2}R^2\,d\theta.
Esta fórmula vem da área de um setor de círculo: área = \tfrac12 r^2 \Delta\theta (com \Delta\theta em radianos). Sempre que usar essa fórmula, lembrar que \theta está em radianos.
Portanto, a taxa areal (área varrida por unidade de tempo) é
\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}R^2\frac{d\theta}{dt}.

Passo 4

Parte (b) — mostrar a implicação direta: M.C.U. \Rightarrow segunda lei.
  • M.C.U. significa que a velocidade escalar v é constante: v= constante.
  • Pelo relacionamento entre v e \dfrac{d\theta}{dt} temos
\frac{d\theta}{dt}=\frac{v}{R}.
Como v e R são constantes na órbita circular considerada, segue que \dfrac{d\theta}{dt} é constante.
  • Substituindo em \dfrac{dA}{dt}=\tfrac12 R^2 \dfrac{d\theta}{dt} obtemos
\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}R^2\cdot\frac{v}{R}=\frac{1}{2}R v.
Como R e v são constantes, a taxa areal \dfrac{dA}{dt} é constante no tempo.
  • A segunda lei de Kepler afirma exatamente que a taxa areal é constante (áreas iguais em tempos iguais). Logo, M.C.U. implica a segunda lei.
Comentário intuitivo: se a rapidez não muda, o ângulo muda a uma taxa constante, e os setores têm sempre a mesma área num dado intervalo de tempo.

Passo 5

Parte (b) — mostrar a implicação inversa: segunda lei \Rightarrow M.C.U.
  • A segunda lei dá que \dfrac{dA}{dt} é constante. Usando a fórmula da taxa areal,
\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}R^2\frac{d\theta}{dt}=\text{constante}.
  • Como R é fixo na órbita circular, isso implica que \dfrac{d\theta}{dt} é constante.
  • Usando v=R\dfrac{d\theta}{dt}, segue que v é constante.
  • Portanto, a taxa areal constante implica que a rapidez é constante, isto é, o movimento é M.C.U.
Conclusão de (b): para órbita circular, M.C.U. é equivalente à segunda lei de Kepler — cada uma implica a outra.

Passo 6

Parte (c) — preparar o uso da terceira lei e da dinâmica (força centrípeta).
Definições e relações que vamos usar:
  • Seja m a massa do planeta, R o raio da órbita circular e T o período (tempo de uma volta completa).
  • Para M.C.U. numa circunferência, a velocidade tangencial é
v=\frac{2\pi R}{T}.
Isto porque em um período o planeta percorre comprimento 2\pi R.
  • A aceleração centrípeta necessária para manter o planeta na órbita circular é
a_c=\frac{v^2}{R}.
  • Pela segunda lei de Newton a força resultante (a força centrípeta que atua sobre o planeta) é
F=m a_c = m\frac{v^2}{R}.
Esta é a força radial dirigida ao centro (força que o Sol deve exercer sobre o planeta).

Passo 7

Parte (c) — substituir v em termos de T e usar a terceira lei.
  • Substituindo v=\dfrac{2\pi R}{T} em F=m\frac{v^2}{R} obtemos
F=m\frac{\left(\dfrac{2\pi R}{T}\right)^2}{R}=m\frac{4\pi^2 R^2}{T^2}\cdot\frac{1}{R}=m\frac{4\pi^2 R}{T^2}.
  • Agora usar a terceira lei de Kepler. Para órbitas em torno do mesmo corpo central (o Sol), existe uma constante k tal que
T^2=k\,R^3.
(Aqui k é a mesma para todos os planetas que orbitam o mesmo Sol; para uma órbita circular a=R.)
  • Substituindo T^2=kR^3 em F
F=m\frac{4\pi^2 R}{kR^3}=m\frac{4\pi^2}{k}\cdot\frac{1}{R^2}.

Passo 8

Parte (c) — interpretação e conclusão final.
  • A expressão colhida é
F=m\frac{4\pi^2}{k}\cdot\frac{1}{R^2},
ou, reorganizando,
F\propto\frac{1}{R^2}.
  • Portanto, impondo a terceira lei de Kepler ao movimento circular uniforme (e usando a dinâmica básica que relaciona força à aceleração centrípeta), conclui-se que a força que atua radialmente sobre o planeta deve variar inversamente com o quadrado da distância ao Sol.
  • Observação física adicional (opcional): comparando com a Lei da Gravitação Universal de Newton F=\dfrac{G M m}{R^2}, obtém‑se a identificação da constante \dfrac{4\pi^2}{k}=GM, o que liga a constante k de Kepler à massa M do Sol e à constante gravitacional G. Isto mostra a consistência entre as leis de Kepler e a forma universal da gravitação (mas a dedução principal pedida já está concluída: F\propto 1/R^2).

Resposta

(a) Porque um círculo é uma elipse com excentricidade e=0; nesse caso os focos coincidem no centro, logo colocar o Sol no centro equivale a colocá‑lo em um foco da elipse.
(b) Para órbita circular de raio R vale \dfrac{dA}{dt}=\tfrac{1}{2}R^2\dfrac{d\theta}{dt}; como v=R\dfrac{d\theta}{dt}, tem‑se \dfrac{dA}{dt}=\tfrac{1}{2}Rv. Assim v=const (M.C.U.) implica \dfrac{dA}{dt}=const (segunda lei), e \dfrac{dA}{dt}=const implica v=const; logo são equivalentes.
(c) Para M.C.U. v=\dfrac{2\pi R}{T} e F=m\frac{v^2}{R}=m\frac{4\pi^2 R}{T^2}. Com a terceira lei T^2=kR^3 obtém‑se F=m\frac{4\pi^2}{k}\frac{1}{R^2}, portanto F\propto \dfrac{1}{R^2}.

Exercícios relacionados