(a) Por que é correto afirmar, que um planeta em movimento circular, com o Sol no centro da trajetória circular, satisfaz a primeira lei de Kepler? (b) Mostre que este movimento circular é uniforme (M.C.U.) se e somente se a segunda lei de Kepler for satisfeita. (c) Impondo a terceira lei de Kepler a este M.C.U., demonstre que a força gravitacional entre o Sol e o Planeta tem que ser inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles.
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado pede e quais informações são dadas.
- O enunciado apresenta um planeta descrevendo uma trajetória circular de raio
com o Sol situado no centro dessa circunferência. - O enunciado pede três coisas:
(a) Por que é correto afirmar que esse movimento satisfaz a primeira lei de Kepler.
(b) Mostrar que esse movimento circular é movimento circular uniforme (M.C.U.) se, e somente se, a segunda lei de Kepler for satisfeita.
(c) Impondo a terceira lei de Kepler ao M.C.U. do planeta, demonstrar que a força gravitacional entre o Sol e o planeta deve variar inversamente com o quadrado da distância (isto é,).
Informações úteis que vamos usar (definições que o enunciado pressupõe):
- A primeira lei de Kepler: os planetas descrevem elipses com o Sol em um dos focos.
- A segunda lei de Kepler: o segmento que liga o Sol ao planeta varre áreas iguais em tempos iguais (taxa areal constante).
- A terceira lei de Kepler: para órbitas em torno do mesmo corpo central, o quadrado do período
é proporcional ao cubo do semieixo maior ; isto é, . Para órbita circular, o semieixo maior é igual ao raio .
Passo 2
Parte (a). Entender por que uma circunferência com o Sol no centro é um caso particular da primeira lei (óptica geométrica da elipse).
Explicação didática sobre elipse e foco:
- Uma elipse é o conjunto dos pontos cuja soma das distâncias a duas posições fixas (os focos) é constante. Em coordenadas padrão, a elipse centrada na origem tem a equação
onde
é o semieixo maior,
é o semieixo menor.
- A distância do centro ao foco é denotada por
, dada por
- A excentricidade da elipse é
. Quando a elipse é degenerada em um círculo.
Aplicando isso ao caso especial do círculo:
- Para um círculo de raio
, podemos identificar . Então
logo a(s) distância(s) do centro aos focos é(não) zero: os dois focos coincidem com o centro da curva.
- Portanto, uma circunferência é uma elipse com excentricidade
e com os focos coincidindo no centro.
Conclusão para (a):
- A primeira lei de Kepler exige que a órbita seja uma elipse com o Sol em um dos focos. No caso circular, os dois focos coincidem com o centro, então colocar o Sol no centro é exatamente colocá‑lo num foco (os focos coincidentes). Assim, um movimento circular com o Sol no centro é um caso particular da primeira lei de Kepler. (Resposta conceitual: porque um círculo é uma elipse especial com excentricidade zero, cujos focos coincidem no centro.)
Passo 3
Parte (b) — preparar as ferramentas: área varrida e relação velocidade-angular.
Definições e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
- Para uma órbita circular de raio
, o vetor posição do planeta em relação ao Sol pode ser representado pelo raio vetor que forma um ângulo com alguma referência. - Se o planeta percorre um arco com variação angular
num intervalo de tempo , o comprimento do arco é . - A velocidade tangencial (linear) do planeta é
Aqui
é a rapidez escalar (módulo da velocidade),
é o raio da órbita e
é a velocidade angular (às vezes escrita
).
Área varrida em um pequeno intervalo de tempo:
- O pequeno setor circular formado pelo raio vetor quando o ângulo varia
tem área
Esta fórmula vem da área de um setor de círculo: área =
(com
em radianos). Sempre que usar essa fórmula, lembrar que
está em radianos.
Portanto, a taxa areal (área varrida por unidade de tempo) é
Passo 4
Parte (b) — mostrar a implicação direta: M.C.U.
segunda lei.
- M.C.U. significa que a velocidade escalar
é constante: constante. - Pelo relacionamento entre
e temos
Como
e
são constantes na órbita circular considerada, segue que
é constante.
- Substituindo em
obtemos
Como
e
são constantes, a taxa areal
é constante no tempo.
- A segunda lei de Kepler afirma exatamente que a taxa areal é constante (áreas iguais em tempos iguais). Logo, M.C.U. implica a segunda lei.
Comentário intuitivo: se a rapidez não muda, o ângulo muda a uma taxa constante, e os setores têm sempre a mesma área num dado intervalo de tempo.
Passo 5
Parte (b) — mostrar a implicação inversa: segunda lei
M.C.U.
- A segunda lei dá que
é constante. Usando a fórmula da taxa areal,
- Como
é fixo na órbita circular, isso implica que é constante. - Usando
, segue que é constante. - Portanto, a taxa areal constante implica que a rapidez é constante, isto é, o movimento é M.C.U.
Conclusão de (b): para órbita circular, M.C.U. é equivalente à segunda lei de Kepler — cada uma implica a outra.
Passo 6
Parte (c) — preparar o uso da terceira lei e da dinâmica (força centrípeta).
Definições e relações que vamos usar:
- Seja
a massa do planeta, o raio da órbita circular e o período (tempo de uma volta completa). - Para M.C.U. numa circunferência, a velocidade tangencial é
Isto porque em um período o planeta percorre comprimento
.
- A aceleração centrípeta necessária para manter o planeta na órbita circular é
- Pela segunda lei de Newton a força resultante (a força centrípeta que atua sobre o planeta) é
Esta é a força radial dirigida ao centro (força que o Sol deve exercer sobre o planeta).
Passo 7
Parte (c) — substituir
em termos de
e usar a terceira lei.
- Substituindo
em obtemos
- Agora usar a terceira lei de Kepler. Para órbitas em torno do mesmo corpo central (o Sol), existe uma constante
tal que
(Aqui
é a mesma para todos os planetas que orbitam o mesmo Sol; para uma órbita circular
.)
- Substituindo
em dá
Passo 8
Parte (c) — interpretação e conclusão final.
- A expressão colhida é
ou, reorganizando,
- Portanto, impondo a terceira lei de Kepler ao movimento circular uniforme (e usando a dinâmica básica que relaciona força à aceleração centrípeta), conclui-se que a força que atua radialmente sobre o planeta deve variar inversamente com o quadrado da distância ao Sol.
- Observação física adicional (opcional): comparando com a Lei da Gravitação Universal de Newton
, obtém‑se a identificação da constante , o que liga a constante de Kepler à massa do Sol e à constante gravitacional . Isto mostra a consistência entre as leis de Kepler e a forma universal da gravitação (mas a dedução principal pedida já está concluída: ).
Resposta
(a) Porque um círculo é uma elipse com excentricidade
; nesse caso os focos coincidem no centro, logo colocar o Sol no centro equivale a colocá‑lo em um foco da elipse.
(b) Para órbita circular de raio vale
; como
, tem‑se
. Assim
const (M.C.U.) implica
const (segunda lei), e
const implica
const; logo são equivalentes.
(c) Para M.C.U. e
. Com a terceira lei
obtém‑se
, portanto
.
(b) Para órbita circular de raio
(c) Para M.C.U.