Considere a seguinte brincadaeira: escolhe-se um valor inteiro n>1, se ele for ímpar subtraimos 1 , se for par dividimos por 2 ; repetimos o mesmo processo com o resultado obtido nessa primeira etapa e assim por diante até que o resultado seja 1. Por exemplo, se iniciarmos com o número 13 , devemos subtrair 1 , obtendo 12 , depois dividir por 2 e assim por diante de modo que obtemos a seguinte sequência: 13 \rightarrow 12 \rightarrow 6 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 1, sendo necessárias 5 estapas até chegarmos no resultado 1. Quantas etapas seriam necessárias para reduzir o número 2^{50}-1 até 1 segundo o processo descrito acima?

  1. “Memento, homo, quia pulvis es, et in pulverem reverteris”

Passo 1

O enunciado pede para calcular quantas etapas são necessárias para reduzir o número 2^{50}-1 até 1 seguindo esta regra iterativa: se o número atual é ímpar, subtrai-se 1; se é par, divide-se por 2. Informações dadas e objetivo:
  • Número inicial: 2^{50}-1.
  • Operações permitidas por etapa: "subtrair 1" (se o número for ímpar) ou "dividir por 2" (se o número for par).
  • Para cada operação conta-se uma etapa; repetir até obter 1.
  • Precisamos encontrar o total de etapas necessárias.

Passo 2

Observação inicial e padrão a investigar: números da forma 2^{k}-1 são ímpares para todo inteiro k\ge1. Então, ao aplicar a regra a 2^{k}-1 primeiro fazemos a operação "subtrair 1". Vou analisar o que acontece algebraicamente quando começamos com 2^{k}-1.
Subtrair 1 de 2^{k}-1:
2^{k}-1 - 1 = 2^{k}-2.
Fatorando:
2^{k}-2 = 2\bigl(2^{k-1}-1\bigr).
Isto mostra que depois de subtrair 1 obtemos um número par que é exatamente 2 vezes 2^{k-1}-1.

Passo 3

Como o resultado após a subtração é par, a próxima etapa será dividir por 2. Dividindo 2\bigl(2^{k-1}-1\bigr) por 2 obtemos:
\frac{2\bigl(2^{k-1}-1\bigr)}{2} = 2^{k-1}-1.
Portanto, começando de 2^{k}-1, duas etapas consecutivas (primeiro subtrair 1, depois dividir por 2) transformam 2^{k}-1 em 2^{k-1}-1.

Passo 4

Conseqüência do passo anterior (padrão iterativo): sempre que o número atual tem a forma 2^{m}-1 com m\ge2, aplicando uma etapa de "subtrair 1" seguida de uma etapa de "dividir por 2" obtemos 2^{m-1}-1. Ou seja, cada par de etapas reduz o expoente m em 1.

Passo 5

Quando o expoente chega a m=1 temos 2^{1}-1=1, que é o estado final; o processo então termina. Logo, para ir de 2^{k}-1 até 1 precisamos reduzir k até 1. O número de reduções do expoente necessárias é k-1. Cada redução do expoente consome exatamente 2 etapas (uma subtração e uma divisão), conforme mostrado.

Passo 6

Conclusão geral: o total de etapas necessárias para reduzir 2^{k}-1 até 1 é
2\,(k-1).
Aplicando ao caso pedido, com k=50:
\text{número de etapas} = 2\,(50-1) = 2\cdot 49 = 98.ú

Resposta

98

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