Questão 3: Ache a solução particular de apenas uma das EDO’s da Questão 2 usando o método da variação de parâmetros.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Encontrar a solução particular de apenas uma das EDO’s da “Questão 2” usando o método da variação de parâmetros.
Informações que o enunciado me deu:
  • Somente a instrução acima; não foram fornecidas as equações diferenciais da Questão 2 (ou seja, as EDO’s concretas não foram enviadas).
Observação decisiva (informação relevante): sem que as EDO’s da Questão 2 sejam fornecidas, não há como calcular uma solução particular específica para qualquer uma delas — falta a própria equação a ser trabalhada.

Passo 2

O que é preciso ter para aplicar variação de parâmetros (lista de coisas que eu precisaria ter do enunciado):
  • A EDO linear de segunda ordem explicita, escrita na forma padrão
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = r(x).
  • As soluções fundamentais y_1(x) e y_2(x) da equação homogênea associada
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = 0.
  • O termo não-homogêneo r(x).
    Sem esses três elementos não é possível executar a variação de parâmetros para obter uma y_p específica.

Passo 3

Resumo didático do método da variação de parâmetros (passo a passo que você pode usar na prova)
  1. Escreva a EDO na forma padrão y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = r(x).
  2. Resolva a equação homogênea y''+p(x)y'+q(x)y=0 e obtenha duas soluções linearmente independentes y_1(x) e y_2(x).
  3. Calcule o Wronskiano W(x)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=y_1 y_2'-y_1' y_2.Observação: se W(x)=0 em algum intervalo, as funções não são independentes lá e o método falha — mas geralmente para ODEs com coeficientes contínuos isso não acontece para as soluções fundamentais.
  4. Use as fórmulas da variação de parâmetros para as derivadas das funções auxiliares u_1'(x) e u_2'(x): u_1'(x) = -\frac{y_2(x)\,r(x)}{W(x)},\qquad u_2'(x) = \frac{y_1(x)\,r(x)}{W(x)}.Essas fórmulas vêm do sistema imposto para que u_1 y_1 + u_2 y_2 seja solução da EDO com u_1',u_2' escolhidos adequadamente.
  5. Integre para obter u_1(x)=\int u_1'(x)\,dx e u_2(x)=\int u_2'(x)\,dx. Pode surgir constantes de integração, mas para a construção de uma solução particular podemos tomar constantes zero (elas seriam absorvidas na solução homogênea).
  6. A solução particular é y_p(x)=u_1(x)\,y_1(x)+u_2(x)\,y_2(x).
  7. Verifique (opcional, mas recomendado na prova) substituindo y_p na EDO para checar que y_p''+p y_p'+q y_p=r.
Dica prática para prova: sempre organize os cálculos do Wronskiano e das integrais com cuidado, e prefira escolher a EDO não multiplicada por algum fator (se houver fator na frente do y'', divida tudo para colocar na forma padrão).

Passo 4

Exemplo totalmente resolvido (mostra de forma concreta como aplicar passo a passo)
Vou executar o método em uma EDO de exemplo bem simples para você ver tudo detalhado e poder replicar na prova. Exemplo:
y''-y = e^{2x}.
  1. Forma padrão: já está na forma y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x) com p(x)=0, q(x)=-1, r(x)=e^{2x}.
  2. Equação homogênea:
y''-y=0 \quad\Rightarrow\quad r^2-1=0,\; r=\pm1.
Portanto as soluções fundamentais são
y_1(x)=e^{x},\qquad y_2(x)=e^{-x}.
  1. Wronskiano:
W(x)=y_1 y_2' - y_1' y_2 = e^{x}(-e^{-x}) - e^{x}e^{-x} = -1 -1 = -2.
Observação: o Wronskiano é constante igual a -2.
  1. Calcular u_1'(x) e u_2'(x) usando as fórmulas:
u_1'(x) = -\frac{y_2(x)\,r(x)}{W(x)} = -\frac{e^{-x}\,e^{2x}}{-2} = -\frac{e^{x}}{-2} = \frac{e^{x}}{2},
u_2'(x) = \frac{y_1(x)\,r(x)}{W(x)} = \frac{e^{x}\,e^{2x}}{-2} = -\frac{e^{3x}}{2}.
  1. Integrar para obter u_1 e u_2:
u_1(x)=\int \frac{e^{x}}{2}\,dx = \frac{e^{x}}{2},
u_2(x)=\int -\frac{e^{3x}}{2}\,dx = -\frac{e^{3x}}{6}.
  1. Construir y_p:
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x) = \frac{e^{x}}{2}\cdot e^{x} + \left(-\frac{e^{3x}}{6}\right)\cdot e^{-x}.
Simplificando:
y_p(x)=\frac{e^{2x}}{2} - \frac{e^{2x}}{6} = \frac{e^{2x}}{3}.
  1. Verificação rápida:
y_p' = \frac{2}{3}e^{2x},\qquad y_p''=\frac{4}{3}e^{2x},
y_p''-y_p = \left(\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\right)e^{2x}=e^{2x},
ou seja, confere com r(x)=e^{2x}.
Essa é a solução particular obtida por variação de parâmetros para a EDO de exemplo: y_p(x)=\dfrac{e^{2x}}{3}. No seu caso, com a EDO específica da Questão 2, basta seguir exatamente esses passos trocando p,q,r e as soluções fundamentais y_1,y_2.

Passo 5

Conclusão prática para o seu enunciado:
  • Não posso encontrar a solução particular de “uma das EDO’s da Questão 2” porque as EDO’s da Questão 2 não foram enviadas.
  • No entanto, expliquei a metodologia completa e dei um exemplo resolvido passo a passo que você pode aplicar diretamente a qualquer EDO linear de segunda ordem não-homogênea que o professor tenha listado na Questão 2.

Resposta

Não é possível encontrar a solução particular pedida porque as EDO’s da Questão 2 não foram fornecidas.

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