4-4 Considere o seguinte campo de velocidade estacionário e bidimensional:
\vec{V}=(u, v)=\left(a^{2}-(b-c x)^{2}\right) \vec{i}+\left(-2 c b y+2 c^{2} x y\right) \vec{j}
Existe algum ponto de estagnação nesse campo de escoamento? Se existir, onde ele está?

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional e estacionário
\vec{V}=(u,v)=\left(a^{2}-(b-c x)^{2},\;-2 c b y+2 c^{2} x y\right)
e pergunta se existe ponto de estagnação; se existir, onde ele(s) está(ão).
Informações relevantes fornecidas:
  • As componentes do campo são u(x,y)=a^{2}-(b-c x)^{2} e v(x,y)=-2 c b y+2 c^{2} x y.
  • Os parâmetros a,b,c aparecem no enunciado, sem restrições explícitas (podem ser zero ou não).
  • Ponto de estagnação significa ponto onde a velocidade é nula: u=0 e v=0 simultaneamente.

Passo 2

Definição e estratégia rápida: um ponto (x,y) é de estagnação quando
u(x,y)=0\qquad\text{e}\qquad v(x,y)=0.
Vou escrever essas equações e resolvê‑las, prestando atenção a possíveis casos especiais (por exemplo quando c=0, que pode impedir divisões por c).

Passo 3

Escrever as equações u=0 e v=0.
Para u=0:
a^{2}-(b-c x)^{2}=0
que equivale a
(b-c x)^{2}=a^{2}.
Para v=0:
-2 c b y+2 c^{2} x y=0.

Passo 4

Resolver v=0 por fatoração (passo didático).
Factoriza-se v:
v(x,y)=2c\,y\,(c x - b).
Assim v=0 implica
2c\,y\,(c x - b)=0,
ou seja, pelo produto nulo, uma das seguintes alternativas é verdadeira:
  • y=0, ou
  • c x - b = 0 (isto é, x=\dfrac{b}{c} se c\neq0), ou
  • c=0 (caso especial que veremos à parte).

Passo 5

Resolver u=0. A equação (b-c x)^{2}=a^{2}
b-c x = \pm a.
Então
c x = b \mp a
e (se c\neq0)
x = \frac{b\mp a}{c}.
Ou seja, há (em princípio) duas abscissas possíveis que anulam u:
x_1=\frac{b-a}{c}\quad\text{e}\quad x_2=\frac{b+a}{c}.

Passo 6

Combinar as condições de u=0 e v=0 considerando os casos sobre c e a.
Caso A: c\neq0.
  • Pela análise de v=0, temos duas possibilidades: y=0 ou x=\dfrac{b}{c}.
    1. Se y=0: então v=0 é satisfeito. Para também ter u=0 precisamos que x seja uma das raízes encontradas em u=0. Logo, com y=0 surgem dois pontos de estagnação (quando a não for zero distinto de produzir raízes coincidentes):
    \left(\frac{b-a}{c},\,0\right)\quad\text{e}\quad\left(\frac{b+a}{c},\,0\right).
    Se a\neq0 essas duas abscissas são distintas; se a=0 ambas se reduzem a x=\dfrac{b}{c} (veja abaixo).
    1. Se x=\dfrac{b}{c}: substituir em u
    u\Big(x=\frac{b}{c}\Big)=a^{2}-(b-c\cdot\frac{b}{c})^{2}=a^{2}-0=a^{2}.
    Portanto para x=\dfrac{b}{c} ter u=0 é necessário a^{2}=0, isto é, a=0. Se a\neq0, a escolha x=\dfrac{b}{c} não anula u e não produz ponto de estagnação (exceto possivelmente se y=0 e coincidir com os pontos do item 1).
  • Resumindo para c\neq0:
    • Se a\neq0: existem exatamente dois pontos de estagnação, ambos com y=0, \left(\frac{b-a}{c},\,0\right)\quad\text{e}\quad\left(\frac{b+a}{c},\,0\right).
    • Se a=0: a equação de u=0 reduz a b-cx=0, isto é x=\dfrac{b}{c}. Além disso v=0 também é satisfeita para x=\dfrac{b}{c} independentemente de y (pois c x - b=0 anula v). Logo, quando a=0 e c\neq0 toda a reta vertical x=\frac{b}{c}\quad\text{(para qualquer }y\text{)}é de pontos de estagnação.
Caso B: c=0.
  • Substituindo c=0 nas componentes: u=a^{2}-(b-0)^{2}=a^{2}-b^{2}\quad\text{(constante)},
v=-2\cdot0\cdot b\,y+2\cdot0^{2} x y=0.
Ou seja, a velocidade é \vec{V}=(a^{2}-b^{2},\,0) em todo o plano.
  • Se a^{2}-b^{2}\neq0 (ou seja, a\neq\pm b), então u\neq0 em todo ponto e não há ponto de estagnação.
  • Se a^{2}-b^{2}=0 (ou seja, a=\pm b), então u=0 e v=0 em todo ponto: o campo é nulo em toda a região — todos os pontos são pontos de estagnação (a velocidade é nula identicamente).

Passo 7

Interpretando e fazendo um resumo amigável (pra você decorar na hora da prova):
  • Geralmente (quando c\neq0 e a\neq0) o escoamento tem dois pontos de estagnação distintos, ambos sobre a linha y=0, nas abscissas x=\dfrac{b\pm a}{c}.
  • Se c\neq0 e a=0 as duas abscissas coincidem e a estagnação se estende para toda a reta vertical x=\dfrac{b}{c}.
  • Se c=0 e a=\pm b o campo é nulo em toda parte (todo ponto é de estagnação).
  • Se c=0 e a\neq\pm b não há ponto de estagnação.

Resposta

Se c\neq0 e a\neq0:
\left(\frac{b-a}{c},\,0\right)\quad\text{e}\quad\left(\frac{b+a}{c},\,0\right).
Se c\neq0 e a=0:
\text{toda a reta }x=\frac{b}{c}\text{ (qualquer }y\text{) é de estagnação.}éçã
Se c=0 e a^{2}=b^{2} (isto é, a=\pm b):
\text{o campo é nulo em todo o plano (todos os pontos são de estagnação).}éãçã
Se c=0 e a^{2}\neq b^{2}:
\text{não existe ponto de estagnação.}ãçã

Exercícios relacionados