4-4 Considere o seguinte campo de velocidade estacionário e bidimensional:
Existe algum ponto de estagnação nesse campo de escoamento? Se existir, onde ele está?
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional e estacionário
e pergunta se existe ponto de estagnação; se existir, onde ele(s) está(ão).
Informações relevantes fornecidas:
- As componentes do campo são
e . - Os parâmetros
aparecem no enunciado, sem restrições explícitas (podem ser zero ou não). - Ponto de estagnação significa ponto onde a velocidade é nula:
e simultaneamente.
Passo 2
Definição e estratégia rápida: um ponto
é de estagnação quando
Vou escrever essas equações e resolvê‑las, prestando atenção a possíveis casos especiais (por exemplo quando
, que pode impedir divisões por
).
Passo 3
Escrever as equações
e
.
Para
:
que equivale a
Para
:
Passo 4
Resolver
por fatoração (passo didático).
Factoriza-se :
Factoriza-se
Assim
implica
ou seja, pelo produto nulo, uma das seguintes alternativas é verdadeira:
-
, ou -
(isto é, se ), ou -
(caso especial que veremos à parte).
Passo 5
Resolver
. A equação
dá
Então
e (se
)
Ou seja, há (em princípio) duas abscissas possíveis que anulam
:
Passo 6
Combinar as condições de
e
considerando os casos sobre
e
.
Caso A:
.
-
Pela análise de
, temos duas possibilidades: ou . - Se
: então é satisfeito. Para também ter precisamos que seja uma das raízes encontradas em . Logo, com surgem dois pontos de estagnação (quando não for zero distinto de produzir raízes coincidentes):
Seessas duas abscissas são distintas; se ambas se reduzem a (veja abaixo). - Se
: substituir em dá
Portanto parater é necessário , isto é, . Se , a escolha não anula e não produz ponto de estagnação (exceto possivelmente se e coincidir com os pontos do item 1). - Se
-
Resumindo para
: - Se
: existem exatamente dois pontos de estagnação, ambos com , - Se
: a equação de reduz a , isto é . Além disso também é satisfeita para independentemente de (pois anula ). Logo, quando e toda a reta vertical é de pontos de estagnação.
- Se
Caso B:
.
- Substituindo
nas componentes:
Ou seja, a velocidade é
em todo o plano.
- Se
(ou seja, ), então em todo ponto e não há ponto de estagnação. - Se
(ou seja, ), então e em todo ponto: o campo é nulo em toda a região — todos os pontos são pontos de estagnação (a velocidade é nula identicamente).
Passo 7
Interpretando e fazendo um resumo amigável (pra você decorar na hora da prova):
- Geralmente (quando
e ) o escoamento tem dois pontos de estagnação distintos, ambos sobre a linha , nas abscissas . - Se
e as duas abscissas coincidem e a estagnação se estende para toda a reta vertical . - Se
e o campo é nulo em toda parte (todo ponto é de estagnação). - Se
e não há ponto de estagnação.
Resposta
Se
e
:
Se
e
:
Se
e
(isto é,
):
Se
e
: