Considere a seguinte EDO:
2y^2 + 2y/x + (2xy + 2 + y/x)y' = 0
a) Verifique que a EDO acima não é exata e que ao multiplicá-la por x, obtemos uma nova EDO, que é exata.
b) Encontre a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontre a solução do item anterior que satisfaz y(1)=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) da seguinte forma:
2y^2 + 2y/x + (2xy + 2 + y/x)y' = 0
O exercício está dividido em três partes:
a) Mostrar que essa EDO não é exata e que, ao multiplicar por , ela vira uma EDO exata.
b) Encontrar a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontrar a solução que satisfaz a condição inicial .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como manipular as equações para verificar essa exatidão. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO de forma mais clara:
A forma geral de uma EDO é . Aqui:
Uma EDO é exata se existir uma função tal que:
Para verificar se a EDO é exata, a gente checa se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando :
Então,
Agora, calculando :
Então,
Comparando e :
Como essas derivadas não são iguais, a EDO não é exata. Agora, vamos multiplicar a EDO original por e ver se ela se torna exata.

Passo 4

Multiplicando a EDO original por :
Simplificando:
Agora, identificamos novamente e :
Vamos verificar se essa nova EDO é exata.

Passo 5

Calculando :
Então,
Calculando :
Então,
Agora, comparando as derivadas:
Como as derivadas são iguais, a EDO multiplicada por é exata. Isso conclui o item a).

Passo 6

Passando para o item b), vamos resolver a EDO exata:
Como a EDO é exata, sabemos que existe uma função tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :

Passo 7

Integrando termo a termo:
  1. Integra de em relação a :
  1. Integra de em relação a :
Como é tratado como constante em relação a :
Então, juntando os resultados:
Aqui, é uma função de que aparece porque a constante de integração pode depender de .

Passo 8

Agora, sabemos que:
Vamos derivar em relação a :
Igualando a :
Simplificando, percebemos que:
Integrando :
Agora, substituímos na função :
Para a solução geral, igualamos :
Onde é uma constante.

Resposta

A solução geral da EDO exata é dada por:
Onde é uma constante arbitrária.

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