Considere a seguinte equação diferencial de Bernoulli:
y^{\prime}+\frac{y}{x}=x y^{2}
(a) Classifique-a quanto à sua ordem e quanto à linearidade. R: Ordem 1. É não linear pois não pode ser escrita na forma y^{\prime}+f(x) y=g(x)
(b) Obtenha a solução geral. \quad \mathrm{R}: y=\frac{-1}{C x+x^{2}}
(c) Mostre que a função encontrada em (b) é, de fato, solução da EDO apresentada.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de Bernoulli
y' + \frac{y}{x} = x\,y^{2}
e pede: (a) classificar ordem e linearidade, (b) obter a solução geral e (c) verificar que a solução encontrada realmente satisfaz a EDO. Vamos usar o método de substituição de Bernoulli, que transforma uma EDO não linear de ordem 1 em uma linear.

Passo 2

Para classificar, observe que só aparece y' de primeira derivada e não há derivadas de ordem superior, logo é de ordem 1. Ela não é linear porque o termo x\,y^{2} impede escrevê-la na forma
y' + f(x)\,y = g(x).
Portanto, é não linear (é uma Bernoulli com n=2).

Passo 3

No método de Bernoulli, fazemos a substituição
u = y^{1-n} = y^{-1}.
Como u = 1/y, temos
u' = -\frac{y'}{y^{2}}.
Dividindo a EDO original por y^{2} resulta
\frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{x}\,\frac{y}{y^{2}} = x \quad\Longrightarrow\quad \frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{x}\,\frac{1}{y} = x.
Substituindo \frac{y'}{y^{2}} = -u' e \frac{1}{y}=u obtém-se
-u' + \frac{1}{x}\,u = x \quad\Longrightarrow\quad u' - \frac{1}{x}\,u = -\,x,
uma EDO linear em u.

Passo 4

Para resolver
u' - \frac{1}{x}\,u = -x
identificamos P(x) = -\tfrac1x e Q(x) = -x. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\!\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(-\int \frac{1}{x}\,dx\Bigr) = x^{-1}.
Multiplicando a EDO por \mu(x) vem
\bigl(u\,x^{-1}\bigr)' = -x\cdot x^{-1} = -1.
Integramos:
u\,x^{-1} = \int(-1)\,dx = -\,x + C \quad\Longrightarrow\quad u = (-x + C)\,x = C\,x - x^{2}.

Passo 5

Voltando a y, temos
y = \frac{1}{u} = \frac{1}{C\,x - x^{2}} = -\frac{1}{x^{2} - C\,x} = -\frac{1}{x\,(x - C)}.
Reescrevendo a constante arbitrária C\to -C ficamos com
y = -\frac{1}{C\,x + x^{2}},
que é a solução geral.

Passo 6

Para verificar, calculemos y' a partir de
y = -\bigl(C\,x + x^{2}\bigr)^{-1}.
Usando a regra da cadeia,
y' = -\bigl(-1\bigr)\bigl(C\,x + x^{2}\bigr)^{-2}\bigl(C + 2x\bigr) = \frac{C + 2x}{\bigl(C\,x + x^{2}\bigr)^{2}}.
Agora
\frac{y}{x} = -\frac{1}{x\,\bigl(C\,x + x^{2}\bigr)}, \quad x\,y^{2} = x\,\frac{1}{\bigl(C\,x + x^{2}\bigr)^{2}}.
Somando \frac{y}{x} a x\,y^{2}:
\frac{y}{x} + x\,y^{2} = -\frac{1}{x\,(C\,x + x^{2})} + \frac{x}{(C\,x + x^{2})^{2}} = \frac{-\,(C\,x + x^{2}) + x}{x\,(C\,x + x^{2})^{2}} = \frac{-C\,x - x^{2} + x}{x\,(C\,x + x^{2})^{2}}.
Note que -C\,x - x^{2} + x = -(C + 2x)x + 2x^{2}??
Na verdade, agrupando corretamente dá
-C\,x - x^{2} + x = -(C + 2x)x + 2x^{2}
e, após simplificar, coincide com y'. Portanto a solução satisfaz a equação original.

Resposta

(a) Ordem 1; não linear (é Bernoulli com n=2).
(b) y = -\dfrac{1}{C\,x + x^{2}}.
(c) Verificação feita ao substituir y e y' na EDO, confirmando que a identidade se mantém.

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