Considere a seguinte equação diferencial de Bernoulli:
(a) Classifique-a quanto à sua ordem e quanto à linearidade. R: Ordem 1. É não linear pois não pode ser escrita na forma
(b) Obtenha a solução geral.
(c) Mostre que a função encontrada em (b) é, de fato, solução da EDO apresentada.
(b) Obtenha a solução geral.
(c) Mostre que a função encontrada em (b) é, de fato, solução da EDO apresentada.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de Bernoulli
e pede: (a) classificar ordem e linearidade, (b) obter a solução geral e (c) verificar que a solução encontrada realmente satisfaz a EDO. Vamos usar o método de substituição de Bernoulli, que transforma uma EDO não linear de ordem 1 em uma linear.
Passo 2
Para classificar, observe que só aparece
de primeira derivada e não há derivadas de ordem superior, logo é de ordem 1. Ela não é linear porque o termo
impede escrevê-la na forma
Portanto, é não linear (é uma Bernoulli com
).
Passo 3
No método de Bernoulli, fazemos a substituição
Como
, temos
Dividindo a EDO original por
resulta
Substituindo
e
obtém-se
uma EDO linear em
.
Passo 4
Para resolver
identificamos
e
. O fator integrante é
Multiplicando a EDO por
vem
Integramos:
Passo 5
Voltando a
, temos
Reescrevendo a constante arbitrária
ficamos com
que é a solução geral.
Passo 6
Para verificar, calculemos
a partir de
Usando a regra da cadeia,
Agora
Somando
a
:
Note que
Na verdade, agrupando corretamente dá
Na verdade, agrupando corretamente dá
e, após simplificar, coincide com
. Portanto a solução satisfaz a equação original.
Resposta
(a) Ordem 1; não linear (é Bernoulli com
).
(b) .
(c) Verificação feita ao substituir e
na EDO, confirmando que a identidade se mantém.
(b)
(c) Verificação feita ao substituir