Dado o problema de valor inicial
t \frac{d y}{d t}+(t+1) y=e^{2 t}, \quad y(1)=0
(a) Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade. R: Ordem 1. É linear pois pode ser escrita na forma y^{\prime}+f(t) y=g(t)
(b) Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única). R: ( 0,+\infty )
(c) Encontre a solução do PVI. R: y=\frac{e^{2 t}-e^{-t+3}}{3 t}

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
t\,\frac{dy}{dt} + (t+1)\,y = e^{2t},\quad y(1)=0,
que é uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem e linear em y. Para resolver, vamos primeiro colocá-la na forma padrão
\frac{dy}{dt} + p(t)\,y = q(t)
e em seguida usar o fator integrante para encontrar a solução geral, impondo depois a condição y(1)=0.

Passo 2

Para classificar a EDO, observamos que aparece apenas \frac{dy}{dt} como derivada de y, sem derivadas de ordem superior. Logo é de ordem 1.
Além disso, podemos dividir tudo por t (desde que t\neq0) e obter
\frac{dy}{dt} + \frac{t+1}{t}\,y = \frac{e^{2t}}{t},
que é da forma \frac{dy}{dt} + p(t)\,y = q(t). Como p(t) e q(t) são funções somente de t, a equação é linear em y.

Passo 3

A existência e unicidade de solução para uma EDO linear de primeira ordem garantem-se sempre que p(t) e q(t) forem contínuas num intervalo que contenha o ponto inicial t=1. Aqui
p(t)=\frac{t+1}{t},\quad q(t)=\frac{e^{2t}}{t}
são contínuas em todo intervalo que não inclua t=0. Como o ponto inicial é t=1, o maior intervalo em que a solução existe e é única é
(0,\,+\infty).

Passo 4

Para resolver, usamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) = \exp\Bigl(\int \bigl(1 + \tfrac1t\bigr)\,dt\Bigr) = \exp\bigl(t + \ln t\bigr) = t\,e^{t}.
Multiplicando a equação padrão por \mu(t), temos
t\,e^t\,\frac{dy}{dt} + t\,e^t\frac{t+1}{t}\,y = e^{t}t\,\frac{dy}{dt} + (t+1)e^{t}\,y = t\,e^{t}\,\frac{dy}{dt} + (t+1)e^{t}\,y = t\,e^{t}\frac{dy}{dt} +(t+1)e^t y = \frac{d}{dt}\bigl(y\,t\,e^{t}\bigr).
Do outro lado, multiplicando q(t) por \mu(t)
\frac{e^{2t}}{t}\cdot t\,e^t = e^{3t}.
Portanto a equação transformada fica
\frac{d}{dt}\bigl(y\,t\,e^{t}\bigr) = e^{3t}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
y\,t\,e^{t} = \int e^{3t}\,dt = \frac{e^{3t}}{3} + C.
Logo
y = \frac{1}{t\,e^{t}}\Bigl(\frac{e^{3t}}{3} + C\Bigr) = \frac{e^{2t}}{3t} + \frac{C\,e^{-t}}{t}.
Para determinar C, usamos y(1)=0:
0 = \frac{e^{2\cdot1}}{3\cdot1} + \frac{C\,e^{-1}}{1} \;\Longrightarrow\; C = -\frac{e^{2}}{3}\,e^{1} = -\frac{e^{3}}{3}.
Assim
y = \frac{e^{2t}}{3t} - \frac{e^{3}\,e^{-t}}{3t} = \frac{e^{2t} - e^{3-t}}{3t}.

Resposta

(a) Ordem 1. É linear em y.
(b) (0,\,+\infty).
(c) \displaystyle y = \frac{e^{2t} - e^{3-t}}{3t}.

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