Dado o problema de valor inicial
(a) Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade. R: Ordem 1. É linear pois pode ser escrita na forma
(b) Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única). R: (
)
(c) Encontre a solução do PVI. R:
(b) Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única). R: (
(c) Encontre a solução do PVI. R:
Passo 1
O enunciado apresenta o problema de valor inicial
que é uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem e linear em
. Para resolver, vamos primeiro colocá-la na forma padrão
e em seguida usar o fator integrante para encontrar a solução geral, impondo depois a condição
.
Passo 2
Para classificar a EDO, observamos que aparece apenas
como derivada de
, sem derivadas de ordem superior. Logo é de ordem 1.
Além disso, podemos dividir tudo por (desde que
) e obter
Além disso, podemos dividir tudo por
que é da forma
. Como
e
são funções somente de
, a equação é linear em
.
Passo 3
A existência e unicidade de solução para uma EDO linear de primeira ordem garantem-se sempre que
e
forem contínuas num intervalo que contenha o ponto inicial
. Aqui
são contínuas em todo intervalo que não inclua
. Como o ponto inicial é
, o maior intervalo em que a solução existe e é única é
Passo 4
Para resolver, usamos o fator integrante
Multiplicando a equação padrão por
, temos
Do outro lado, multiplicando
por
dá
Portanto a equação transformada fica
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Logo
Para determinar
, usamos
:
Assim
Resposta
(a) Ordem 1. É linear em
.
(b) .
(c)
(b)
(c)