Considere a seguinte equação diferencial:
A equação (1) é exata? Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão que você enviou. A gente tem uma equação diferencial apresentada da seguinte forma:
O objetivo aqui é descobrir se essa equação é exata. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e aprender como identificar se uma equação diferencial é desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação diferencial da forma:
é considerada exata se existe uma função
tal que:
Isso significa que as derivadas parciais de
em relação a
e
nos dão as funções
e
respectivamente.
Passo 3
Para verificar se a nossa equação é exata, vamos identificar as funções
e
na equação dada:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Passo 4
Agora, comparamos as derivadas parciais que calculamos:
Para a equação ser exata, essas duas derivadas precisam ser iguais. Neste caso, elas não são iguais.
Resposta
Não, a equação diferencial
não é exata, porque as derivadas parciais
e
são diferentes.