Considere a seguinte expressão: \frac{4 x^{3}-16 x}{x^{3}-4 x^{2}+4 x}
  1. Simplifique a expressão e indique o seu domínio.
  2. Para que valores de x a expressão é maior ou igual a zero.

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\frac{4x^{3}-16x}{x^{3}-4x^{2}+4x}
e pede:
  1. simplificá-la e indicar o domínio;
  2. encontrar os valores de x tais que essa expressão seja maior ou igual a zero.
    Para isso vamos usar fatoração de polinômios, identificação de zeros e pontos de descontinuidade, e análise de sinal de uma expressão racional.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador separadamente:
Numerador:
4x^{3}-16x = 4x\bigl(x^{2}-4\bigr) = 4x\,(x-2)\,(x+2).
Denominador:
x^{3}-4x^{2}+4x = x\bigl(x^{2}-4x+4\bigr) = x\,(x-2)^{2}.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador pelos fatores comuns x e (x-2), para x\neq 0 e x\neq 2, obtemos a forma simplificada
\frac{4x^{3}-16x}{x^{3}-4x^{2}+4x} = \frac{4\,x\,(x-2)\,(x+2)}{x\,(x-2)^{2}} = \frac{4\,(x+2)}{x-2}.
O domínio original exige que o denominador nunca seja zero, logo
x^{3}-4x^{2}+4x\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq 0,\quad x\neq 2.

Passo 4

Para resolver
\frac{4\,(x+2)}{x-2}\ge 0
note que o fator 4 é sempre positivo e não altera o sinal. Precisamos então estudar o sinal de
\frac{x+2}{x-2}.
Os pontos críticos são as raízes do numerador e os zeros do denominador:
x+2=0\;\Rightarrow\;x=-2, \qquad x-2=0\;\Rightarrow\;x=2\\ (\text{ponto de descontinuidade}).
Fazendo o diagrama de sinais em cada intervalo:
  • Para x<-2: x+2<0 e x-2<0, logo \frac{x+2}{x-2}>0.
  • Para -2<x<2: x+2>0 e x-2<0, logo \frac{x+2}{x-2}<0.
  • Para x>2: x+2>0 e x-2>0, logo \frac{x+2}{x-2}>0.
    No ponto x=-2 a fração vale zero e é permitido (denominador \neq0). Em x=2 não está no domínio.

Passo 5

Combinando domínio e análise de sinal, a expressão simplificada é válida para x\neq0,2 e satisfaz
\frac{4\,(x+2)}{x-2}\ge0
quando x\in(-\infty,\,-2]\cup(2,\,+\infty).

Resposta

Expressão simplificada:
\frac{4\,(x+2)}{x-2},
com domínio x\neq0,2.
Solução da inequação \frac{4x^{3}-16x}{x^{3}-4x^{2}+4x}\ge0:
x\in(-\infty,\,-2]\cup(2,\,+\infty).

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