Considere a seguinte expressão:
- Simplifique a expressão e indique o seu domínio.
- Para que valores de
a expressão é maior ou igual a zero.
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede:
- simplificá-la e indicar o domínio;
- encontrar os valores de
tais que essa expressão seja maior ou igual a zero.
Para isso vamos usar fatoração de polinômios, identificação de zeros e pontos de descontinuidade, e análise de sinal de uma expressão racional.
Passo 2
Fatoramos numerador e denominador separadamente:
Numerador:
Numerador:
Denominador:
Passo 3
Dividindo numerador e denominador pelos fatores comuns
e
, para
e
, obtemos a forma simplificada
O domínio original exige que o denominador nunca seja zero, logo
Passo 4
Para resolver
note que o fator
é sempre positivo e não altera o sinal. Precisamos então estudar o sinal de
Os pontos críticos são as raízes do numerador e os zeros do denominador:
Fazendo o diagrama de sinais em cada intervalo:
- Para
: e , logo . - Para
: e , logo . - Para
: e , logo .
No pontoa fração vale zero e é permitido (denominador ). Em não está no domínio.
Passo 5
Combinando domínio e análise de sinal, a expressão simplificada é válida para
e satisfaz
quando
.
Resposta
Expressão simplificada:
com domínio
.
Solução da inequação
: