Considere a seguinte função:
F(s)=\frac{s^{4}+5 s^{3}+6 s^{2}+9 s+30}{s^{4}+6 s^{3}+21 s^{2}+46 s+30}
Utilizando o MATLAB, obtenha a expansão em frações parciais de \mathrm{F}(\mathrm{s}). Em seguida, determine a transformada de Laplace inversa de F(s).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Foi dada a função racional
F(s)=\frac{s^{4}+5 s^{3}+6 s^{2}+9 s+30}{s^{4}+6 s^{3}+21 s^{2}+46 s+30}.
  • Pedidos:
    1. Obter a expansão em frações parciais de F(s) (usando MATLAB foi sugerido).
    2. Determinar a transformada de Laplace inversa de F(s), ou seja, encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.
  • Observação importante: o numerador e o denominador têm o mesmo grau (grau 4). Antes de decompor em frações parciais é necessário garantir que a fração seja própria (grau numerador < grau denominador). Se não for, faz-se divisão polinomial primeiro.

Passo 2

Divisão polinomial (reduzir à forma própria).
  • Como \deg(\text{num})=\deg(\text{den})=4, fazemos a divisão polinomial:
\frac{s^{4}+5 s^{3}+6 s^{2}+9 s+30}{s^{4}+6 s^{3}+21 s^{2}+46 s+30}=1+\frac{R(s)}{s^{4}+6 s^{3}+21 s^{2}+46 s+30},
onde o resto R(s) é
R(s)=(s^{4}+5 s^{3}+6 s^{2}+9 s+30)-(s^{4}+6 s^{3}+21 s^{2}+46 s+30)=-s^{3}-15 s^{2}-37 s.
Portanto
F(s)=1+\frac{-s^{3}-15 s^{2}-37 s}{s^{4}+6 s^{3}+21 s^{2}+46 s+30}.

Passo 3

Fatoração do denominador (encontrar polos).
  • Fatora-se o denominador s^{4}+6 s^{3}+21 s^{2}+46 s+30. Testando raízes inteiras encontra-se s=-3 e s=-1.
  • Dividindo sucessivamente obtemos
s^{4}+6 s^{3}+21 s^{2}+46 s+30=(s+3)(s+1)(s^{2}+2s+10).
  • O fator quadrático s^{2}+2s+10 não se fatoriza em reais; em completamento do quadrado:
s^{2}+2s+10=(s+1)^{2}+3^{2}.

Passo 4

Montagem da forma de frações parciais (após a divisão).
  • Como o termo constante 1 já foi separado, decompondo a parte própria:
\frac{-s^{3}-15 s^{2}-37 s}{(s+3)(s+1)(s^{2}+2s+10)} =\frac{A}{s+3}+\frac{B}{s+1}+\frac{Cs+D}{s^{2}+2s+10}.
  • A tarefa agora é determinar A,B,C,D constantes reais.

Passo 5

Determinação de A e B por substituição dos polos simples.
  • Multiplicando ambos os lados por (s+3)(s+1)(s^{2}+2s+10) e avaliando em s=-3 e s=-1 (cancelam termos) dá:
    • Para s=-3:
    -(-3)^{3}-15(-3)^{2}-37(-3)=A\cdot((-3)+1)\cdot\big((-3)^{2}+2(-3)+10\big).Calculando: o lado esquerdo é 3. O fator à direita é (-2)\cdot13=-26. Logo -26 A = 3 \quad\Rightarrow\quad A=-\frac{3}{26}.
    • Para s=-1:
    -(-1)^{3}-15(-1)^{2}-37(-1)=B\cdot((-1)+3)\cdot\big((-1)^{2}+2(-1)+10\big).Lado esquerdo é 23. O fator direito é 2\cdot9=18. Logo 18 B = 23 \quad\Rightarrow\quad B=\frac{23}{18}.

Passo 6

Determinação de C e D por igualação de coeficientes (ou substituição).
  • Já sabemos A e B. Define-se o polinômio resto R(s)=-s^{3}-15s^{2}-37s.
  • Subtrai-se A\cdot (s+1)(s^{2}+2s+10) e B\cdot (s+3)(s^{2}+2s+10) de R(s). O resultado deve ser (Cs+D)(s+3)(s+1)=(Cs+D)(s^{2}+4s+3).
  • Fazendo as contas (detalhes algébricos):
    • A=-\dfrac{3}{26}, B=\dfrac{23}{18}.
    • Calcula-se R(s)-A\cdot(s+1)(s^{2}+2s+10)-B\cdot(s+3)(s^{2}+2s+10) e iguala-se termo a termo com (Cs+D)(s^{2}+4s+3).
  • Igualando coeficientes obtém-se o sistema que leva a:
C=-\frac{253}{117},\qquad D=-\frac{1450}{117}.
  • Verificação rápida: com esses valores as igualdades de coeficientes casam (confere a consistência das contas).

Passo 7

Escrever a expansão em frações parciais final (forma explícita).
  • Reunindo tudo:
F(s)=1+\frac{A}{s+3}+\frac{B}{s+1}+\frac{C s + D}{s^{2}+2s+10},
com os valores encontrados:
A=-\frac{3}{26},\quad B=\frac{23}{18},\quad C=-\frac{253}{117},\quad D=-\frac{1450}{117}.

Passo 8

Preparar a inversa de Laplace (usar completamento do quadrado e fórmulas padrão).
  • Como s^{2}+2s+10=(s+1)^{2}+3^{2}, escrevemos
\frac{C s + D}{s^{2}+2s+10} = C\cdot\frac{s+1}{(s+1)^{2}+3^{2}}+\frac{D-C}{(s+1)^{2}+3^{2}}.
  • Fórmulas de inversa úteis:
    • \mathcal{L}^{-1}\{1\}=\delta(t) (a transformada de Laplace da delta de Dirac é 1).
    • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t}.
    • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}\right\}=e^{-a t}\cos(bt).
    • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}\right\}=e^{-a t}\sin(bt).
  • Aplicando essas fórmulas aos termos:
    • 1 transforma em \delta(t).
    • \dfrac{A}{s+3} transforma em A e^{-3t}.
    • \dfrac{B}{s+1} transforma em B e^{-t}.
    • Para a parte quadrática:
      • C\cdot\dfrac{s+1}{(s+1)^{2}+3^{2}} transforma em C e^{-t}\cos(3t).
      • \dfrac{D-C}{(s+1)^{2}+3^{2}}=\dfrac{D-C}{3}\cdot\frac{3}{(s+1)^{2}+3^{2}} transforma em \dfrac{D-C}{3}\,e^{-t}\sin(3t).
  • Calcula-se D-C:
D-C=-\frac{1450}{117}-\left(-\frac{253}{117}\right)=-\frac{1197}{117}=-\frac{133}{13}.
Logo \dfrac{D-C}{3}=-\dfrac{133}{39}.

Passo 9

Escrever a transformada inversa final e comentar uso do MATLAB.
  • Substituindo os coeficientes, a função no tempo é
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\delta(t)-\frac{3}{26}e^{-3t}+\frac{23}{18}e^{-t}-\frac{253}{117}e^{-t}\cos(3t)-\frac{133}{39}e^{-t}\sin(3t).
  • Nota sobre MATLAB: para verificar a decomposição em frações parciais em MATLAB usa-se a função residue. Exemplo de comandos:
num = [1 5 6 9 30];      % coeficientes do numerador
den = [1 6 21 46 30];    % coeficientes do denominador
[r,p,k] = residue(num,den)
onde r são os resíduos (residues), p os polos e k os termos diretos (aqui k = 1 correspondente ao termo constante). Os resíduos e polos retornados podem ser combinados (podendo aparecer pares complexos conjugados) para reconstruir a forma real usando as fórmulas com cos/sin demonstradas acima.

Resposta

F(s)=1-\frac{3}{26}\frac{1}{s+3}+\frac{23}{18}\frac{1}{s+1}+\frac{-\dfrac{253}{117}\,s-\dfrac{1450}{117}}{s^{2}+2s+10}
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\delta(t)-\frac{3}{26}e^{-3t}+\frac{23}{18}e^{-t}-\frac{253}{117}e^{-t}\cos(3t)-\frac{133}{39}e^{-t}\sin(3t)

Exercícios relacionados