Considere a seguinte função:
Utilizando o MATLAB, obtenha a expansão em frações parciais de
. Em seguida, determine a transformada de Laplace inversa de F(s).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Foi dada a função racional
- Pedidos:
- Obter a expansão em frações parciais de
(usando MATLAB foi sugerido). - Determinar a transformada de Laplace inversa de
, ou seja, encontrar .
- Obter a expansão em frações parciais de
- Observação importante: o numerador e o denominador têm o mesmo grau (grau 4). Antes de decompor em frações parciais é necessário garantir que a fração seja própria (grau numerador < grau denominador). Se não for, faz-se divisão polinomial primeiro.
Passo 2
Divisão polinomial (reduzir à forma própria).
- Como
, fazemos a divisão polinomial:
onde o resto
é
Portanto
Passo 3
Fatoração do denominador (encontrar polos).
- Fatora-se o denominador
. Testando raízes inteiras encontra-se e . - Dividindo sucessivamente obtemos
- O fator quadrático
não se fatoriza em reais; em completamento do quadrado:
Passo 4
Montagem da forma de frações parciais (após a divisão).
- Como o termo constante
já foi separado, decompondo a parte própria:
- A tarefa agora é determinar
constantes reais.
Passo 5
Determinação de
e
por substituição dos polos simples.
- Multiplicando ambos os lados por
e avaliando em e (cancelam termos) dá: - Para
:
Calculando: o lado esquerdo é . O fator à direita é . Logo - Para
:
Lado esquerdo é . O fator direito é . Logo - Para
Passo 6
Determinação de
e
por igualação de coeficientes (ou substituição).
- Já sabemos
e . Define-se o polinômio resto . - Subtrai-se
e de . O resultado deve ser . - Fazendo as contas (detalhes algébricos):
-
, . - Calcula-se
e iguala-se termo a termo com .
-
- Igualando coeficientes obtém-se o sistema que leva a:
- Verificação rápida: com esses valores as igualdades de coeficientes casam (confere a consistência das contas).
Passo 7
Escrever a expansão em frações parciais final (forma explícita).
- Reunindo tudo:
com os valores encontrados:
Passo 8
Preparar a inversa de Laplace (usar completamento do quadrado e fórmulas padrão).
- Como
, escrevemos
- Fórmulas de inversa úteis:
-
(a transformada de Laplace da delta de Dirac é ). -
. -
. -
.
-
- Aplicando essas fórmulas aos termos:
-
transforma em . -
transforma em . -
transforma em . - Para a parte quadrática:
-
transforma em . -
transforma em .
-
-
- Calcula-se
:
Logo
.
Passo 9
Escrever a transformada inversa final e comentar uso do MATLAB.
- Substituindo os coeficientes, a função no tempo é
- Nota sobre MATLAB: para verificar a decomposição em frações parciais em MATLAB usa-se a função residue. Exemplo de comandos:
num = [1 5 6 9 30]; % coeficientes do numerador
den = [1 6 21 46 30]; % coeficientes do denominador
[r,p,k] = residue(num,den)
onde
r são os resíduos (residues), p os polos e k os termos diretos (aqui k = 1 correspondente ao termo constante). Os resíduos e polos retornados podem ser combinados (podendo aparecer pares complexos conjugados) para reconstruir a forma real usando as fórmulas com cos/sin demonstradas acima.