Obtenha a expansão em frações parciais da seguinte função, utilizando o MATLAB:
F(s)=\frac{10(s+2)(s+4)}{(s+1)(s+3)(s+5)^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função racional
F(s)=\frac{10(s+2)(s+4)}{(s+1)(s+3)(s+5)^{2}}
e pede a expansão em frações parciais dessa função, usando o MATLAB. Informações relevantes que temos:
  • Numerador em forma expandida: \;10(s+2)(s+4)=10s^{2}+60s+80.
  • Denominador em forma expandida (produto dos fatores dados): (s+1)(s+3)(s+5)^{2}=s^{4}+14s^{3}+68s^{2}+130s+75.
    O que se pede: escrever F(s) como soma de termos da forma constante sobre fatores lineares e sobre a potência do fator repetido (s+5)^{2}, ou seja uma expressão do tipo
F(s)=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+3}+\frac{C}{s+5}+\frac{D}{(s+5)^{2}},
e também mostrar como obter isso no MATLAB.

Passo 2

Explicação do método (didática, sem pular etapas).
  • Quando o denominador tem fatores lineares distintos s-p_i, o coeficiente associado a_i do termo \dfrac{a_i}{s-p_i} pode ser obtido por \displaystyle a_i=\lim_{s\to p_i}(s-p_i)F(s). Isso é o método de Heaviside (ou cálculo de resíduos para pólos simples).
  • Para um pólo repetido de ordem m em s=p (aqui m=2 em s=-5), os coeficientes dos termos \dfrac{a_m}{(s-p)^m}+\cdots+\dfrac{a_1}{s-p} são obtidos por derivadas. Em particular, para m=2:
    • o coeficiente do termo \dfrac{a_2}{(s-p)^2} é a_2=\lim_{s\to p}(s-p)^2 F(s),
    • o coeficiente do termo \dfrac{a_1}{s-p} é a_1=\lim_{s\to p}\frac{d}{ds}\big[(s-p)^2 F(s)\big].
  • No MATLAB existe a função residue que calcula automaticamente esses coeficientes: \texttt{[r,p,k] = residue(num,den)} retorna o vetor de resíduos \texttt{r}, o vetor de pólos \texttt{p} (com repetições para pólos múltiplos) e o termo polinomial \texttt{k} (se houver). Aqui não há termo polinomial porque grau do numerador é menor que do denominador.

Passo 3

Como preparar e chamar o MATLAB (o que deve ser digitado) — vetores de coeficientes do polinômio em ordem decrescente de potências:
  • vetor numerador:
\texttt{num} = [\,10\; 60\; 80\,]
pois o numerador é 10s^{2}+60s+80.
  • vetor denominador (expansão de (s+1)(s+3)(s+5)^2 que foi calculada acima):
\texttt{den} = [\,1\;14\;68\;130\;75\,]
pois o denominador é s^{4}+14s^{3}+68s^{2}+130s+75.
No MATLAB, a chamada é
\texttt{[r,p,k] = residue(num,den);}
O resultado esperado (mapeando resíduos para pólos) é que \texttt{p} contenha os pólos -1,-3,-5,-5 e \texttt{r} contenha os respectivos coeficientes dos termos parciais (um dos -5 corresponderá ao coeficiente de \dfrac{1}{s+5} e o outro ao de \dfrac{1}{(s+5)^{2}}).

Passo 4

Cálculo dos coeficientes para os pólos simples usando a fórmula de avaliação direta (Heaviside).
  • Para s=-1 (pólo simples), o coeficiente A é
A=\lim_{s\to -1}(s+1)F(s)=\left.\frac{10(s+2)(s+4)}{(s+3)(s+5)^{2}}\right|_{s=-1}.
Calcule passo a passo:
\text{numerador} = 10(-1+2)(-1+4)=10\cdot1\cdot3=30,
\text{denominador} = ( -1+3)(-1+5)^{2}=2\cdot4^{2}=2\cdot16=32,
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A=\frac{30}{32}=\frac{15}{16}.
  • Para s=-3 (pólo simples), o coeficiente B é
B=\lim_{s\to -3}(s+3)F(s)=\left.\frac{10(s+2)(s+4)}{(s+1)(s+5)^{2}}\right|_{s=-3}.
Calcule:
\text{numerador} = 10(-3+2)(-3+4)=10\cdot(-1)\cdot1=-10,
\text{denominador} = (-3+1)(-3+5)^{2}=(-2)\cdot2^{2}=(-2)\cdot4=-8,
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B=\frac{-10}{-8}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}.

Passo 5

Cálculo dos coeficientes para o pólo repetido s=-5.
Defina a função auxiliar (sem o fator repetido) \displaystyle G(s)=(s+5)^{2}F(s). Assim
G(s)=\frac{10(s+2)(s+4)}{(s+1)(s+3)}.
  • O coeficiente do termo \dfrac{D}{(s+5)^{2}} é
D=\lim_{s\to -5}(s+5)^{2}F(s)=G(-5).
Calcule G(-5):
G(-5)=\frac{10(-5+2)(-5+4)}{(-5+1)(-5+3)}=\frac{10\cdot(-3)\cdot(-1)}{(-4)\cdot(-2)}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}.
  • O coeficiente do termo \dfrac{C}{s+5} é
C=\lim_{s\to -5}\frac{d}{ds}\big[(s+5)^{2}F(s)\big]=G'(-5).
Calcule G'(s) por derivação do quociente. Escrevendo G(s)=10\frac{N(s)}{D(s)} com N(s)=s^{2}+6s+8 e D(s)=s^{2}+4s+3, tem-se
G'(s)=10\frac{N'(s)D(s)-N(s)D'(s)}{D(s)^{2}},
onde N'(s)=2s+6 e D'(s)=2s+4.
Agora avalie em s=-5:
N(-5)=(-5)^{2}+6(-5)+8=25-30+8=3,
D(-5)=25-20+3=8,
N'(-5)=2(-5)+6=-10+6=-4,
D'(-5)=2(-5)+4=-10+4=-6.
Substituindo:
N'(-5)D(-5)-N(-5)D'(-5)=(-4)\cdot8-3\cdot(-6)=-32+18=-14.
Logo
G'(-5)=10\cdot\frac{-14}{8^{2}}=\frac{-140}{64}=-\frac{35}{16}.
Portanto
C=-\frac{35}{16}.

Passo 6

Montagem final da expansão em frações parciais usando os coeficientes encontrados:
F(s)=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+3}+\frac{C}{s+5}+\frac{D}{(s+5)^{2}}
com
A=\frac{15}{16},\qquad B=\frac{5}{4},\qquad C=-\frac{35}{16},\qquad D=\frac{15}{4}.
Observação prática: se executar no MATLAB com
\texttt{num}=[\,10\;60\;80\,],\qquad \texttt{den}=[\,1\;14\;68\;130\;75\,],
então
\texttt{[r,p,k]=residue(num,den)}
deve retornar resíduos \texttt{r} correspondentes a \dfrac{15}{16},\dfrac{5}{4},-\dfrac{35}{16},\dfrac{15}{4} com pólos \texttt{p}=[-1,-3,-5,-5] (a ordem pode variar, mas os pares (r_i,p_i) indicam quais resíduos correspondem a quais pólos). Não há termo polinomial ( \texttt{k}=\varnothing ou vetor vazio).

Resposta

\displaystyle F(s)=\frac{15}{16}\cdot\frac{1}{s+1}+\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{s+3}-\frac{35}{16}\cdot\frac{1}{s+5}+\frac{15}{4}\cdot\frac{1}{(s+5)^{2}}

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