Obtenha a expansão em frações parciais da seguinte função, utilizando o MATLAB:
F(s)=\frac{10(s+2)(s+4)}{(s+1)(s+3)(s+5)^{2}}
Passo 1
O enunciado dá a função racional
F(s)=\frac{10(s+2)(s+4)}{(s+1)(s+3)(s+5)^{2}}
e pede a expansão em frações parciais dessa função, usando o MATLAB. Informações relevantes que temos:
Numerador em forma expandida: \;10(s+2)(s+4)=10s^{2}+60s+80.
Denominador em forma expandida (produto dos fatores dados): (s+1)(s+3)(s+5)^{2}=s^{4}+14s^{3}+68s^{2}+130s+75.
O que se pede: escrever F(s) como soma de termos da forma constante sobre fatores lineares e sobre a potência do fator repetido (s+5)^{2}, ou seja uma expressão do tipo
Explicação do método (didática, sem pular etapas).
Quando o denominador tem fatores lineares distintos s-p_i, o coeficiente associado a_i do termo \dfrac{a_i}{s-p_i} pode ser obtido por \displaystyle a_i=\lim_{s\to p_i}(s-p_i)F(s). Isso é o método de Heaviside (ou cálculo de resíduos para pólos simples).
Para um pólo repetido de ordem m em s=p (aqui m=2 em s=-5), os coeficientes dos termos \dfrac{a_m}{(s-p)^m}+\cdots+\dfrac{a_1}{s-p} são obtidos por derivadas. Em particular, para m=2:
o coeficiente do termo \dfrac{a_2}{(s-p)^2} éa_2=\lim_{s\to p}(s-p)^2 F(s),
o coeficiente do termo \dfrac{a_1}{s-p} éa_1=\lim_{s\to p}\frac{d}{ds}\big[(s-p)^2 F(s)\big].
No MATLAB existe a função residue que calcula automaticamente esses coeficientes: \texttt{[r,p,k] = residue(num,den)} retorna o vetor de resíduos \texttt{r}, o vetor de pólos \texttt{p} (com repetições para pólos múltiplos) e o termo polinomial \texttt{k} (se houver). Aqui não há termo polinomial porque grau do numerador é menor que do denominador.
Passo 3
Como preparar e chamar o MATLAB (o que deve ser digitado) — vetores de coeficientes do polinômio em ordem decrescente de potências:
vetor numerador:
\texttt{num} = [\,10\; 60\; 80\,]
pois o numerador é 10s^{2}+60s+80.
vetor denominador (expansão de (s+1)(s+3)(s+5)^2 que foi calculada acima):
\texttt{den} = [\,1\;14\;68\;130\;75\,]
pois o denominador é s^{4}+14s^{3}+68s^{2}+130s+75.
No MATLAB, a chamada é
\texttt{[r,p,k] = residue(num,den);}
O resultado esperado (mapeando resíduos para pólos) é que \texttt{p} contenha os pólos -1,-3,-5,-5 e \texttt{r} contenha os respectivos coeficientes dos termos parciais (um dos -5 corresponderá ao coeficiente de \dfrac{1}{s+5} e o outro ao de \dfrac{1}{(s+5)^{2}}).
Passo 4
Cálculo dos coeficientes para os pólos simples usando a fórmula de avaliação direta (Heaviside).
deve retornar resíduos \texttt{r} correspondentes a \dfrac{15}{16},\dfrac{5}{4},-\dfrac{35}{16},\dfrac{15}{4} com pólos \texttt{p}=[-1,-3,-5,-5] (a ordem pode variar, mas os pares (r_i,p_i) indicam quais resíduos correspondem a quais pólos). Não há termo polinomial (\texttt{k}=\varnothing ou vetor vazio).