Dadas as seguintes equações diferenciais, onde
corresponde à saída e
corresponde à entrada, determine as funções de transferência respectivas:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear com coeficientes constantes em
:
Aqui
é a saída e
é a entrada. O que o exercício pede é a função de transferência correspondente, ou seja, a razão entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada com condições iniciais nulas:
Passo 2
Explicando o que vou usar (aula rápida e direta):
- A transformada de Laplace de uma função
é
- Regras para derivadas (importantes para transformar equações diferenciais):
Essas fórmulas mostram que derivadas geram termos com as condições iniciais; por isso, para definir a função de transferência usa-se normalmente condições iniciais nulas (
) para obter a relação pura entre
e
.
Passo 3
Agora aplico a transformada de Laplace membro a membro na equação dada:
Usando as fórmulas das derivadas, o lado esquerdo vira
O lado direito é
Passo 4
Agora imponho as condições iniciais nulas
e
(padrão ao definir função de transferência). Substituindo na expressão do Passo 3:
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 5
Isolando a razão
obtemos a função de transferência:
Para visualizar os polos, fatoro o denominador:
portanto
Observação rápida e amigável: os polos estão em
e
. Não há zero finito (numerador é constante).