Dadas as seguintes equações diferenciais, onde \mathrm{y}(\mathrm{t}) corresponde à saída e \mathrm{x}(\mathrm{t}) corresponde à entrada, determine as funções de transferência respectivas:
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+2 \frac{d y}{d t}-3 y=2 x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear com coeficientes constantes em t:
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+2 \frac{d y}{d t}-3 y=2 x.
Aqui y(t) é a saída e x(t) é a entrada. O que o exercício pede é a função de transferência correspondente, ou seja, a razão entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada com condições iniciais nulas:
G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}\quad\text{(assumindo \(y(0)=0\) e \(y'(0)=0\)).}

Passo 2

Explicando o que vou usar (aula rápida e direta):
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt.
  • Regras para derivadas (importantes para transformar equações diferenciais):
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Essas fórmulas mostram que derivadas geram termos com as condições iniciais; por isso, para definir a função de transferência usa-se normalmente condições iniciais nulas ( y(0)=0,\; y'(0)=0) para obter a relação pura entre Y(s) e X(s).

Passo 3

Agora aplico a transformada de Laplace membro a membro na equação dada:
\mathcal{L}\left\{\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+2 \frac{d y}{d t}-3 y\right\}=\mathcal{L}\{2x\}.
Usando as fórmulas das derivadas, o lado esquerdo vira
\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big)+2\big(sY(s)-y(0)\big)-3Y(s).
O lado direito é
2X(s).

Passo 4

Agora imponho as condições iniciais nulas y(0)=0 e y'(0)=0 (padrão ao definir função de transferência). Substituindo na expressão do Passo 3:
s^{2}Y(s)+2sY(s)-3Y(s)=2X(s).
Fatorando Y(s) no lado esquerdo:
\big(s^{2}+2s-3\big)Y(s)=2X(s).

Passo 5

Isolando a razão Y(s)/X(s) obtemos a função de transferência:
G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{2}{s^{2}+2s-3}.
Para visualizar os polos, fatoro o denominador:
s^{2}+2s-3=(s-1)(s+3),
portanto
G(s)=\frac{2}{(s-1)(s+3)}.
Observação rápida e amigável: os polos estão em s=1 e s=-3. Não há zero finito (numerador é constante).

Resposta

\displaystyle G(s)=\frac{2}{s^{2}+2s-3}=\frac{2}{(s-1)(s+3)}

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