Considere a seguinte intensidade de irradiação normalizada:
Determine o ângulo sólido do feixe.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. A gente tem uma “intensidade normalizada”
e quer achar o ângulo sólido do feixe. Isso é um problema de integração em coordenadas esféricas – a gente vai usar a fórmula do ângulo sólido
mas como o feixe aqui ocupa toda a esfera e está “pesado” pela função
, a gente vai calcular
Pra resolver isso, a gente precisa saber:
- Como montar a integral dupla em
e , lembrando do Jacobiano . - Como integrar
em . - Como integrar
em .
Passo 2
Escrevendo a integral do ângulo sólido:
Repare que separamos em um produto de duas integrais, porque a parte que depende de
não interfere na parte de
.
Passo 3
Calcular a integral em
:
Fazendo a substituição
, temos
e os limites vão de
a
. Então
Passo 4
Calcular a integral em
:
Para
, usamos a identidade
e a substituição
,
. Assim
Agora é direto:
Então
.
Passo 5
Multiplicando os dois resultados:
Resposta
O ângulo sólido do feixe é
sr.