Considere a seguinte intensidade de irradiação normalizada:
Pn(theta, phi)=sen^2(theta) cdot sen(phi / 2)
Determine o ângulo sólido do feixe.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. A gente tem uma “intensidade normalizada”
Pn(theta,phi)=sin^2(theta),sin!l(tfracphi2r)
e quer achar o ângulo sólido do feixe. Isso é um problema de integração em coordenadas esféricas – a gente vai usar a fórmula do ângulo sólido
Omega ;=;integral duplafeixedOmega
mas como o feixe aqui ocupa toda a esfera e está “pesado” pela função Omega ;=;integral0^2pi!integral0^piPn(theta,phi),sintheta,dtheta,dphi , a gente vai calcular
Pra resolver isso, a gente precisa saber:
  1. Como montar a integral dupla em e , lembrando do Jacobiano .
  2. Como integrar em .
  3. Como integrar em .

Passo 2

Escrevendo a integral do ângulo sólido:
Omega =integral0^2pi!integral0^pisin^2!(theta),sin!l(tfracphi2r);sintheta;dtheta;dphi =integral0^2pisin!l(tfracphi2r),dphi ;times; integral0^pisin^2!(theta),sintheta,dtheta
Repare que separamos em um produto de duas integrais, porque a parte que depende de não interfere na parte de .

Passo 3

Calcular a integral em Iphi = integral0^2pisin!l(tfracphi2r),dphi :
Iphi =2integral0^pisin(u),du =2l[-cos(u)r]0^pi =2l[-cospi +cos0r] =2l[-(-1)+1r] =2cdot2 =4
Fazendo a substituição , temos e os limites vão de a . Então

Passo 4

Calcular a integral em Itheta =integral0^pisin^2(theta),sintheta,dtheta =integral0^pisin^3(theta),dtheta :
Itheta =integral0^pisintheta,(1-cos^2theta),dtheta =-integralv=cos0^v=cospi(1-v^2),dv =-integral1^-1(1-v^2),dv =integral-1^1(1-v^2),dv
Para integral-1^1(1-v^2),dv =l[v-tfracv^33r]-1^1 =l(1-tfrac13r)-l(-1+tfrac13r) =tfrac23 -(-tfrac23) =tfrac43 , usamos a identidade e a substituição , . Assim
Agora é direto:
Então .

Passo 5

Multiplicando os dois resultados:
Omega =Iphitimes Itheta =4timestfrac43 =tfrac163 steradianos

Resposta

O ângulo sólido do feixe é sr.

Exercícios relacionados