Considere o seguinte perfil de velocidade:
Calcule a espessura da camada limite usando a solução de similaridade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício onde temos um perfil de velocidade dado por:
O objetivo é calcular a espessura da camada limite usando a solução de similaridade. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre camadas limites e soluções de similaridade na mecânica dos fluidos.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre camada limite. Quando um fluido como o ar ou a água passa sobre uma superfície, como uma asa ou um tubo, ele interage com essa superfície e forma uma região próxima chamada camada limite. Nessa camada, a velocidade do fluido varia do valor zero na superfície (devido à condição de não deslizamento) até o valor do fluxo livre $ u_{\infty} $ fora da camada.
A espessura da camada limite ($ \delta $) é a distância a partir da superfície onde a velocidade do fluido atinge, por exemplo, 99% de $ u_{\infty} $.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a solução de similaridade. Em muitos casos, as equações que descrevem a camada limite são parciais e complicadas de resolver. A solução de similaridade simplifica o problema transformando as equações diferenciais parciais em equações diferenciais ordinárias por meio de uma variável de similaridade.
No nosso caso, a solução de similaridade nos ajuda a relacionar as variáveis espaciais e a velocidade de forma que possamos determinar $ \delta $ em função de outras grandezas.
Passo 4
Vamos assumir que a espessura da camada limite $ \delta $ depende da posição $ x $ ao longo da superfície. Nosso objetivo é encontrar como $ \delta $ varia com $ x $.
A equação dada é:
Aqui, $ x_{2} $ é a distância perpendicular à superfície.
Passo 5
Para encontrar $ \delta $, precisamos relacionar essa expressão com uma definição prática de espessura da camada limite. Geralmente, definimos $ \delta $ como a posição onde $ u = 0.99 , u_{\infty} $.
Então, substituindo $ u = 0.99 , u_{\infty} $:
Passo 6
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por $ u_{\infty} $:
Agora, elevamos ambos os lados à potência de 7 para isolar $ \frac{x_{2}}{\delta} $:
Passo 7
Calculando $ 0.99^7 $:
Portanto:
Passo 8
Agora, resolvemos para $ \delta $:
Resposta
A espessura da camada limite $ \delta $ é aproximadamente 1.075 vezes a distância $ x_{2} $: