Para o seguinte perfil de velocidade:
uU=3(x2de
Calcule a espessura da camada limite usando a solução de similaridade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um perfil de velocidade e pede para calcular a espessura da camada limite usando uma solução de similaridade. Isso está relacionado à Mecânica dos Fluidos, especificamente ao estudo das camadas limites. Para resolver isso, vamos precisar entender o perfil de velocidade fornecido e como a solução de similaridade pode nos ajudar a encontrar a espessura da camada limite ( de).

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no perfil de velocidade dado:
uU = 3(x2de
Aqui, u é a velocidade local dentro da camada limite, U é a velocidade do fluxo livre (fora da camada limite), x2 é a coordenada perpendicular à direção do fluxo, e de é a espessura da camada limite que queremos encontrar. Esse perfil nos mostra como a velocidade varia de zero (na parede) até U (fora da camada limite).

Passo 3

A camada limite é uma região próxima à superfície onde a viscosidade do fluido é significativa e a velocidade do fluido varia de zero na parede até a velocidade do fluxo livre. A espessura da camada limite ( de) é definida como a distância a partir da parede onde a velocidade do fluido atinge, por exemplo, 99% da velocidade do fluxo livre U.
No nosso caso, temos uma relação funcional entre u/U e x2/de. Para encontrar de, precisamos determinar o valor de x2 que corresponde a uma certa proporção da velocidade U.

Passo 4

Vamos assumir que a espessura da camada limite de é o ponto onde u/U = 0,99 (ou 99%). Substituindo esses valores na equação dada:
0,99 = 3(de
Simplificando:
0,99 = 3(1)^2 0,99 = 3
Hmm, isso não faz sentido. Parece que houve um mal-entendido na definição.
Na verdade, a espessura da camada limite de é definida como o ponto onde a função de velocidade atinge uma fração significativa de U. No perfil dado, a fórmula já relaciona u/U diretamente com x2/de.
Reescrevendo a equação:
uU = 3(x2de
Para encontrar de, precisamos reorganizar essa equação em termos de x2:
x2 = de
Entretanto, para obter uma expressão geral para de, precisamos usar a solução de similaridade, que nos relaciona a espessura da camada limite com a viscosidade do fluido ( nu) e a distância ao longo da superfície ( x).
A solução de similaridade para uma camada limite laminar em fluxo incompressível é dada por:
de
Onde Rex é o número de Reynolds na posição x:
Rex = Uxnu
Substituindo Rex na expressão de de:
de

Resposta

A espessura da camada limite é dada por:
de

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