Para o seguinte perfil de velocidade:
Calcule a espessura da camada limite usando a solução de similaridade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um perfil de velocidade e pede para calcular a espessura da camada limite usando uma solução de similaridade. Isso está relacionado à Mecânica dos Fluidos, especificamente ao estudo das camadas limites. Para resolver isso, vamos precisar entender o perfil de velocidade fornecido e como a solução de similaridade pode nos ajudar a encontrar a espessura da camada limite (
).
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no perfil de velocidade dado:
Aqui,
é a velocidade local dentro da camada limite,
é a velocidade do fluxo livre (fora da camada limite),
é a coordenada perpendicular à direção do fluxo, e
é a espessura da camada limite que queremos encontrar. Esse perfil nos mostra como a velocidade varia de zero (na parede) até
(fora da camada limite).
Passo 3
A camada limite é uma região próxima à superfície onde a viscosidade do fluido é significativa e a velocidade do fluido varia de zero na parede até a velocidade do fluxo livre. A espessura da camada limite (
) é definida como a distância a partir da parede onde a velocidade do fluido atinge, por exemplo, 99% da velocidade do fluxo livre
.
No nosso caso, temos uma relação funcional entre
e
. Para encontrar
, precisamos determinar o valor de
que corresponde a uma certa proporção da velocidade
.
Passo 4
Vamos assumir que a espessura da camada limite
é o ponto onde
(ou 99%). Substituindo esses valores na equação dada:
Simplificando:
Hmm, isso não faz sentido. Parece que houve um mal-entendido na definição.
Na verdade, a espessura da camada limite
é definida como o ponto onde a função de velocidade atinge uma fração significativa de
. No perfil dado, a fórmula já relaciona
diretamente com
.
Reescrevendo a equação:
Para encontrar
, precisamos reorganizar essa equação em termos de
:
Entretanto, para obter uma expressão geral para
, precisamos usar a solução de similaridade, que nos relaciona a espessura da camada limite com a viscosidade do fluido (
) e a distância ao longo da superfície (
).
A solução de similaridade para uma camada limite laminar em fluxo incompressível é dada por:
Onde
é o número de Reynolds na posição
:
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A espessura da camada limite é dada por: