Considere o seguinte problema sem restrições
minimizar f(x)=x1^2-x1 x2+2 x2^2-2 x1+e^x1+x2
(i) Escreva a condição de otimalidade de primeira ordem. Esta condição é também suficiente? Por quê?
(ii) É barx=(0,0) uma solução ótima? Se não for, identifique uma direção de descida d para a função objetivo do problema, a partir de barx=(0,0).
(iii) Minimize a função objetivo a o longo do vetor d, começando do ponto x= ( 0,0 ).
(iv) Eliminado o último termo da função objetivo, use alguma técnica clássica direta de otimização para resolver o problema.

Passo 1

Beleza, então o exercício é sobre otimização sem restrições de
f(x)=x1^2-x1x2+2x2^2-2x1+e^,x1+x2
Conteúdo: condições de ótima (gradiente e convexidade), direção de descida, minimização unidimensional e resolução direta de sistema linear. Vamos precisar de:
  • Gradiente e Hessiana de
  • Noções de convexidade (Hessiana PD)
  • Direção de descida ( )
  • Técnica de linha reta (função de uma variável)
  • Resolver sistema linear para gradiente nulo sem o termo exponencial

Passo 2

(i) Condição de otimalidade de primeira ordem: a gente exige
nabla f(x)=0,
onde
nabla f(x)= 2x1-x2-2+e^x1+x2 -,x1+4x2+e^x1+x2
É suficiente? Sim, porque a Hessiana
H(x)= 2+e^x1+x2 & -1+e^x1+x2 -1+e^x1+x2 & 4+e^x1+x2
é positiva definida (todos os menores principais são positivos), então é convexa e o ponto estacionário é mínimo global.

Passo 3

(ii) Em nabla f(0,0)= -2+10+1 = -11neq0, ,
[
\nabla f(0,0)=
d=-nabla f(0,0)=(1,-1),

\neq0,
]
logo não é solução ótima. Uma direção de descida é
porque .

Passo 4

(iii) Vamos ver phi(alpha) = alpha^2- alpha(-alpha)+2(-alpha)^2-2alpha + e^0 =4alpha^2-2alpha+1 com .
Derivando: . Zera em .

Passo 5

(iv) Agora tira o g(x)=x1^2-x1x2+2x2^2-2x1 . O objetivo vira
2x1 - x2 -2 =0, -,x1 +4x2 =0
A condição dá o sistema
Da segunda equação . Substituindo na primeira: , daí .

Resposta

(i) , suficiente pois Hessiana PD.
(ii) não é ótima; uma direção de descida é .
(iii) Ao longo de , .
(iv) Sem o termo exponencial, o ótimo é .

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