Considere o seguinte problema sem restrições
(i) Escreva a condição de otimalidade de primeira ordem. Esta condição é também suficiente? Por quê?
(ii) É
uma solução ótima? Se não for, identifique uma direção de descida d para a função objetivo do problema, a partir de
.
(iii) Minimize a função objetivo a o longo do vetor
, começando do ponto
( 0,0 ).
(iv) Eliminado o último termo da função objetivo, use alguma técnica clássica direta de otimização para resolver o problema.
(ii) É
(iii) Minimize a função objetivo a o longo do vetor
(iv) Eliminado o último termo da função objetivo, use alguma técnica clássica direta de otimização para resolver o problema.
Passo 1
Beleza, então o exercício é sobre otimização sem restrições de
Conteúdo: condições de ótima (gradiente e convexidade), direção de descida, minimização unidimensional e resolução direta de sistema linear. Vamos precisar de:
- Gradiente e Hessiana de
- Noções de convexidade (Hessiana PD)
- Direção de descida (
) - Técnica de linha reta (função de uma variável)
- Resolver sistema linear para gradiente nulo sem o termo exponencial
Passo 2
(i) Condição de otimalidade de primeira ordem: a gente exige
onde
É suficiente? Sim, porque a Hessiana
é positiva definida (todos os menores principais são positivos), então
é convexa e o ponto estacionário é mínimo global.
Passo 3
(ii) Em
,
[
\nabla f(0,0)=
]
logo não é solução ótima. Uma direção de descida é
porque
.
Passo 4
(iii) Vamos ver
com
.
Derivando:
. Zera em
.
Passo 5
(iv) Agora tira o
. O objetivo vira
A condição
dá o sistema
Da segunda equação
. Substituindo na primeira:
, daí
.
Resposta
(i)
, suficiente pois Hessiana PD.
(ii) não é ótima; uma direção de descida é
.
(iii) Ao longo de ,
.
(iv) Sem o termo exponencial, o ótimo é .
(ii)
(iii) Ao longo de
(iv) Sem o termo exponencial, o ótimo é