Solucione o problema abaixo, usando as condições de KKT. O ponto encontrado é solução global? Justifique!
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado pede pra minimizar
sujeito às duas restrições lineares
Isso é um clássico de multiplicadores de Lagrange (parte de condições de KKT para igualdade). A ideia é:
montar a função Lagrangeana,
calcular as derivadas,
resolver o sistema pra achar e os multiplicadores .
E, como é quadrática estritamente convexa e as restrições são lineares, o ponto que acharmos será o mínimo global.
Passo 2
Vamos montar a Lagrangeana
Aqui e são os multiplicadores das duas restrições. A teoria diz que no ótimo a gente tem as condições estacionárias (gradiente de zero) e as próprias restrições satisfeitas.
Substituindo 11lambda + 16mu = -4, 16lambda + 38mu = -10 nesses dois eixos temos um sistema linear em lambda = 481, mu = -2381 . Após simplificar, chega-se a
x1 = 3754, x2 = 727, x3 = 1954
Resolvendo isso (por exemplo, eliminação ou matriz), obtemos
Aí voltamos em :
Passo 5
Por que é global? Porque é uma função estritamente convexa (a matriz de Hessiana é positiva definida) e as restrições são lineares (conjunto convexo). Numa situação dessas, qualquer ponto KKT é de fato o mínimo global.
Resposta
O ponto ótimo é
l(x1,x2,x3r) =l(tfrac3754,,tfrac727,,tfrac1954r)
e, como a função é estritamente convexa com restrições lineares, esse é o mínimo global.