Solucione o problema abaixo, usando as condições de KKT. O ponto encontrado é solução global? Justifique!
cc minimizar & f(x)=x1^2+x2^2+x3^2 sujeito a: & x1+x2+3 x3=2 & 5 x1+2 x2+3 x3-5=0

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado pede pra minimizar
f(x)=x1^2 + x2^2 + x3^2
sujeito às duas restrições lineares
x1 + x2 + 3x3 = 2, 5x1 + 2x2 + 3x3 = 5
Isso é um clássico de multiplicadores de Lagrange (parte de condições de KKT para igualdade). A ideia é:
  • montar a função Lagrangeana,
  • calcular as derivadas,
  • resolver o sistema pra achar e os multiplicadores .
    E, como é quadrática estritamente convexa e as restrições são lineares, o ponto que acharmos será o mínimo global.

Passo 2

Vamos montar a Lagrangeana
L(x,lambda,mu) = x1^2 + x2^2 + x3^2 + lambda,(x1 + x2 + 3x3 - 2) + mu,(5x1 + 2x2 + 3x3 - 5)
Aqui e são os multiplicadores das duas restrições. A teoria diz que no ótimo a gente tem as condições estacionárias (gradiente de zero) e as próprias restrições satisfeitas.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais e igualar a zero:
partial Lpartial x1=2x1 + lambda +5mu =0, partial Lpartial x2=2x2 + lambda +2mu =0, partial Lpartial x3=2x3 + 3lambda +3mu =0
Dessas três equações tiramos
x1 = -lambda+5mu2, x2 = -lambda+2mu2, x3 = -3(lambda+mu)2
Também precisamos das duas restrições originais:
x1 + x2 + 3x3 = 2, 5x1 + 2x2 + 3x3 = 5

Passo 4

Substituindo 11lambda + 16mu = -4, 16lambda + 38mu = -10 nesses dois eixos temos um sistema linear em lambda = 481, mu = -2381 . Após simplificar, chega-se a
x1 = 3754, x2 = 727, x3 = 1954
Resolvendo isso (por exemplo, eliminação ou matriz), obtemos
Aí voltamos em :

Passo 5

Por que é global? Porque é uma função estritamente convexa (a matriz de Hessiana é positiva definida) e as restrições são lineares (conjunto convexo). Numa situação dessas, qualquer ponto KKT é de fato o mínimo global.

Resposta

O ponto ótimo é
l(x1,x2,x3r) =l(tfrac3754,,tfrac727,,tfrac1954r)
e, como a função é estritamente convexa com restrições lineares, esse é o mínimo global.

Exercícios relacionados