Considere a seguinte resolução para o cálculo da integral integral0^pi sec ^2 x d x :
Resolução. Como (tg x)^prime=sec ^2 x, usando o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo obtemos:
integral0^pi sec ^2 x d x=tg x|0 ^pi=tg(pi)-tg(0)=0-0=0
Assinale a alternativa verdadeira.
(a) A resolução está inteiramente correta e o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo foi corretamente utilizado.
(b) O resultado final está correto, mas o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo não foi utilizado corretamente.
© A resolução está correta, mas a integral em questão é imprópria.
(d) A resolução está errada. A integral em questão é imprópria e divergente.
(e) A resolução está errada. A integral em questão é imprópria e convergente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão juntos! A gente precisa calcular a integral . Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente usando o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral definida e como usar derivadas para calcular integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o inverso do cosseno, ou seja, . Então, . A integral é uma das integrais básicas que a gente aprende.

Passo 3

Sabemos que a derivada de é , ou seja, . Isso significa que é a primitiva de .

Passo 4

Agora, usando o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que se integral0^pi sec^2 x , dx = tan x |0^pi = tan(pi) - tan(0) , então , podemos calcular a integral:

Passo 5

Sabemos que tan(pi) - tan(0) = 0 - 0 = 0 e , então:
Portanto, segundo essa resolução, a integral seria igual a 0.

Passo 6

Mas, pera aí! Vamos verificar se essa integral está correta. A função tem um ponto problemático em , porque , o que faz com que seja indefinida nesse ponto. Ou seja, a integral é imprópria devido a essa descontinuidade.

Passo 7

Além disso, ao analisar o comportamento perto de , percebemos que tende ao infinito positivo quando nos aproximamos de pela direita e ao infinito negativo pela esquerda. Isso indica que a integral não converge para um valor finito; ou seja, ela diverge.

Resposta

A alternativa correta é a (d): A resolução está errada. A integral em questão é imprópria e divergente.

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