Suponha que
representa a densidade linear num ponto
de um arame fino com o formato de uma curva plana C. Os momentos de inércia em relação aos eixos
e y são definidos por
Determine os momentos de inércia de um arame com o formato de um semicírculo
. Se a função densidade linear for
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um arame finzinho que forma um semicírculo com a equação
e está na parte de cima, ou seja,
. A densidade linear desse arame é dada por
. Nosso objetivo é encontrar os momentos de inércia em relação aos eixos
e
, que são
e
respectivamente. Para isso, vamos precisar entender o que são momentos de inércia, parametrizar a curva do semicírculo, e calcular as integrais definidas para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. É uma medida de como a massa está distribuída em relação a um eixo. No nosso caso, como temos um arame com densidade variável, precisamos integrar ao longo do comprimento do arame para encontrar
e
.
Passo 3
Vamos parametrizar o semicírculo. Uma maneira comum de fazer isso é usando coordenadas polares. Podemos representar qualquer ponto no semicírculo como
e
, onde o ângulo
varia de
a
(já que é um semicírculo superior).
Passo 4
Agora, precisamos expressar o elemento de comprimento
em termos de
. Em coordenadas polares, temos que
. Como o raio
(pela equação
), então
.
Passo 5
Substituindo as parametrizações na função densidade
, temos:
Passo 6
Agora, vamos expressar
e
em termos de
:
Passo 7
Vamos simplificar essas integrais. Vamos calcular
primeiro:
E para
:
Passo 8
Vamos resolver
:
Primeiro, integramos
:
Depois, integramos
:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 9
Agora, vamos resolver
:
Primeiro, integramos
:
Depois, integramos
. Podemos usar substituição
, então
, e a integral se torna:
Aplicando os limites de
a
:
Resposta
Os momentos de inércia são: