Suponha que rho(x, y) representa a densidade linear num ponto (x, y) de um arame fino com o formato de uma curva plana C. Os momentos de inércia em relação aos eixos x e y são definidos por
Ix=integralC y^2 rho(x, y) d s Iy=integralC x^2 rho(x, y) d s
Determine os momentos de inércia de um arame com o formato de um semicírculo x^2+y^2= 1, y >= 0. Se a função densidade linear for rho(x, y)=k(1-y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um arame finzinho que forma um semicírculo com a equação e está na parte de cima, ou seja, . A densidade linear desse arame é dada por . Nosso objetivo é encontrar os momentos de inércia em relação aos eixos e , que são e respectivamente. Para isso, vamos precisar entender o que são momentos de inércia, parametrizar a curva do semicírculo, e calcular as integrais definidas para e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. É uma medida de como a massa está distribuída em relação a um eixo. No nosso caso, como temos um arame com densidade variável, precisamos integrar ao longo do comprimento do arame para encontrar e .

Passo 3

Vamos parametrizar o semicírculo. Uma maneira comum de fazer isso é usando coordenadas polares. Podemos representar qualquer ponto no semicírculo como e , onde o ângulo varia de a (já que é um semicírculo superior).

Passo 4

Agora, precisamos expressar o elemento de comprimento em termos de . Em coordenadas polares, temos que . Como o raio (pela equação ), então .

Passo 5

Substituindo as parametrizações na função densidade rho(theta) = k(1 - sintheta) , temos:

Passo 6

Agora, vamos expressar Ix = integralC y^2 rho(x, y) ds = integral0^pi (sintheta)^2 cdot k(1 - sintheta) dtheta e Iy = integralC x^2 rho(x, y) ds = integral0^pi (costheta)^2 cdot k(1 - sintheta) dtheta em termos de :

Passo 7

Vamos simplificar essas integrais. Vamos calcular Ix = k integral0^pi sin^2theta (1 - sintheta) dtheta = k integral0^pi (sin^2theta - sin^3theta) dtheta primeiro:
Iy = k integral0^pi cos^2theta (1 - sintheta) dtheta = k integral0^pi (cos^2theta - cos^2theta sintheta) dtheta
E para :

Passo 8

Vamos resolver integral sin^2theta dtheta = theta2 - sin(2theta)4 + C :
Primeiro, integramos integral sin^3theta dtheta = -costheta3(2 + cos^2theta) + C :
Ix = k [ ( pi2 - 0 ) - ( 0 - 0 ) ] = k cdot pi2
Depois, integramos :
Aplicando os limites de a :

Passo 9

Agora, vamos resolver integral cos^2theta dtheta = theta2 + sin(2theta)4 + C :
Primeiro, integramos -integral u^2 du = -u^33 + C = -cos^3theta3 + C :
Iy = k [ ( pi2 + 0 ) - ( (-(-1)^33) - (-1^33) ) ] = k ( pi2 - ( 13 + 13 ) ) = k ( pi2 - 23 )
Depois, integramos . Podemos usar substituição , então , e a integral se torna:
Aplicando os limites de a :

Resposta

Os momentos de inércia são:
Ix = kpi2
Iy = k( pi2 - 23 )

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