Considere o seguinte resultado: se \operatorname{det}(A)=0, então A não tem inversa. Use o resultado anterior para encontrar os valores de x para que as matrizes não tenham inversa:
\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\\\ -1 & x-1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os valores de x que tornam a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\[4pt] -1 & x-1 & 1 \\[4pt] 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}
não inversível. Sabemos que a condição para não ter inversa é \det(A)=0. Vamos usar o cálculo de determinantes de matrizes 3\times3.]

Passo 2

Para matrizes 3\times3, podemos usar a expansão de Laplace pela primeira linha:
\det(A) = a_{11}\det(M_{11}) \;-\; a_{12}\det(M_{12}) \;+\; a_{13}\det(M_{13}),
onde M_{ij} é o menor complementar de a_{ij}.

Passo 3

Calculando cada termo:
a_{11}=1,\quad M_{11}=\begin{pmatrix}x-1 & 1 \\[2pt]0 & -1\end{pmatrix} \;\implies\; \det(M_{11}) = (x-1)(-1) - 0\cdot1 = -x + 1,
a_{12}=-1,\quad M_{12}=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[2pt]1 & -1\end{pmatrix} \;\implies\; \det(M_{12}) = (-1)(-1) - 1\cdot1 = 1 - 1 = 0,
a_{13}=1,\quad M_{13}=\begin{pmatrix}-1 & x-1 \\[2pt]1 & 0\end{pmatrix} \;\implies\; \det(M_{13}) = (-1)\cdot0 - (x-1)\cdot1 = -x + 1.
Portanto,
\det(A) = 1\cdot(-x+1) \;-\; (-1)\cdot0 \;+\; 1\cdot(-x+1) = -2x + 2 = 2(1 - x).]

Passo 4

Para a matriz não ser inversível, basta impor \det(A)=0:
2(1 - x) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.

Resposta

x = 1

Exercícios relacionados