Considere o seguinte sistema de equações lineares:
\left[\begin{array}{lll} 0.252 & 0.36 & 0.12 \\\\ 0.987 & 0.16 & 0.24 \\\\ 0.147 & 0.21 & 0.35 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 7 \\\\ 8 \\\\ 9 \end{array}\right]
Resolva o sistema utilizando um dos métodos diretos vistos.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear 3\times3. As incógnitas são x_{1},x_{2},x_{3}. A matriz dos coeficientes e o vetor do lado direito, retirados do enunciado, são:
A=\begin{bmatrix} 0,252 & 0,36 & 0,12\\[2pt] 0,987 & 0,16 & 0,24\\[2pt] 0,147 & 0,21 & 0,35 \end{bmatrix},\qquad b=\begin{bmatrix}7\\[2pt]8\\[2pt]9\end{bmatrix}.
O que o problema pede: encontrar o vetor x=\begin{bmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\\[2pt]x_{3}\end{bmatrix} que satisfaz A x=b.]

Passo 2

Escolha do método (explanação didática):
Vou usar eliminação de Gauss com pivoteamento (troca de linhas quando necessário), que é um método direto clássico. O procedimento tem duas fases:
  1. eliminação (transformar a matriz aumentada [A\mid b] numa forma triangular superior), usando operações elementares sobre linhas;
  2. retro-substituição (resolver a partir da última equação para cima).
Por que pivoteamento? Quando um elemento pivô (o coeficiente na diagonal) é pequeno, a divisão pode amplificar erros numéricos; trocar a linha por outra com pivô maior reduz esse efeito. Vou mostrar passo a passo os pivôs e os multiplicadores usados.

Passo 3

Escrevendo a matriz aumentada inicial (peguei os números do enunciado):
\left[\begin{array}{ccc|c} 0,252 & 0,36 & 0,12 & 7\\[4pt] 0,987 & 0,16 & 0,24 & 8\\[4pt] 0,147 & 0,21 & 0,35 & 9 \end{array}\right]
Primeiro passo da eliminação: procurar o maior valor em módulo na coluna 1 entre as linhas 1–3 para usar como pivô. Os valores da coluna 1 são 0,252, 0,987, 0,147. O maior é 0,987 (linha 2), então trocamos a linha 1 com a linha 2 (pivoteamento por linha).
Depois da troca (R1↔R2), a matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 0,987 & 0,16 & 0,24 & 8\\[4pt] 0,252 & 0,36 & 0,12 & 7\\[4pt] 0,147 & 0,21 & 0,35 & 9 \end{array}\right]]

Passo 4

Eliminação na coluna 1 (zerar as entradas abaixo do pivô 0,987).
Definir multiplicadores:
m_{21}=\frac{0,252}{0,987},\qquad m_{31}=\frac{0,147}{0,987}.
Esses multiplicadores dizem quanto da linha 1 devemos subtrair das linhas 2 e 3 respectivamente para zerar a primeira coluna abaixo do pivô.
Calcule os multiplicadores (mantendo precisão suficiente):
m_{21}=\frac{0,252}{0,987}\approx 0,255318,\qquad m_{31}=\frac{0,147}{0,987}\approx 0,148940.
Atualizamos as linhas 2 e 3 por \text{R}_i \leftarrow \text{R}_i - m_{i1}\,\text{R}_1.
Cálculo das novas linhas (arredondei a cada entrada para 9 casas decimais para clareza; os cálculos exatos abaixo produzem os mesmos resultados numa precisão apropriada):
Linha 2 nova:
\begin{aligned} a_{22}'&=0,36 - m_{21}\cdot0,16 \approx 0,36 - 0,255318\cdot0,16 \approx 0,3191491,\\\ a_{23}'&=0,12 - m_{21}\cdot0,24 \approx 0,12 - 0,255318\cdot0,24 \approx 0,0587237,\\\ b_{2}'&=7 - m_{21}\cdot8 \approx 7 - 0,255318\cdot8 \approx 4,957456. \end{aligned}
Linha 3 nova:
\begin{aligned} a_{32}'&=0,21 - m_{31}\cdot0,16 \approx 0,21 - 0,148940\cdot0,16 \approx 0,1861696,\\\ a_{33}'&=0,35 - m_{31}\cdot0,24 \approx 0,35 - 0,148940\cdot0,24 \approx 0,3142544,\\\ b_{3}'&=9 - m_{31}\cdot8 \approx 9 - 0,148940\cdot8 \approx 7,80848. \end{aligned}
A matriz aumentada após essa etapa torna-se (exibindo apenas os valores calculados):
\left[\begin{array}{ccc|c} 0,987 & 0,16 & 0,24 & 8\\[4pt] 0 & 0,3191491 & 0,0587237 & 4,957456\\[4pt] 0 & 0,1861696 & 0,3142544 & 7,80848 \end{array}\right]
Observação didática: a primeira coluna abaixo do pivô foi zerada exatamente (teoricamente) por construção; os números apresentados têm pequenas aproximações por escrita decimal.]

Passo 5

Agora pivotamos na segunda coluna entre as linhas 2 e 3 (entre os elementos 0,3191491 e 0,1861696). O maior em módulo é 0,3191491 (já está na linha 2), então mantemos as linhas como estão (nenhuma troca nesta etapa).
Eliminação na coluna 2: calcular
m_{32}=\frac{0,1861696}{0,3191491}\approx 0,583391.
Atualizar a linha 3 por \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - m_{32}\,\text{R}_2.
Calculemos as entradas restantes da linha 3:
\begin{aligned} a_{33}''&=0,3142544 - m_{32}\cdot0,0587237 \approx 0,3142544 - 0,583391\cdot0,0587237 \approx 0,279995534,\\\ b_{3}''&=7,80848 - m_{32}\cdot4,957456 \approx 7,80848 - 0,583391\cdot4,957456 \approx 4,916344787. \end{aligned}
Agora a matriz está triangular superior:
\left[\begin{array}{ccc|c} 0,987 & 0,16 & 0,24 & 8\\[4pt] 0 & 0,3191491 & 0,0587237 & 4,957456\\[4pt] 0 & 0 & 0,279995534 & 4,916344787 \end{array}\right]
Didática: chegamos a um sistema triangular superior do tipo
\begin{cases} 0,987\,x_{1} + 0,16\,x_{2} + 0,24\,x_{3} = 8,\\[4pt] 0,3191491\,x_{2} + 0,0587237\,x_{3} = 4,957456,\\[4pt] 0,279995534\,x_{3} = 4,916344787. \end{cases}]

Passo 6

Retro-substituição (resolver a partir da última equação para cima).
Primeiro, da última equação:
x_{3}=\frac{4,916344787}{0,279995534}\approx 17,559523809.
Explicação: para uma equação a_{33}x_{3}=b_{3}, isolamos x_{3}=b_{3}/a_{33}. Aqui usei os valores calculados na eliminação.

Passo 7

Agora usamos a segunda equação para x_{2}:
x_{2}=\frac{4,957456 - 0,0587237\cdot x_{3}}{0,3191491}.
Substituindo x_{3}\approx17,559523809:
x_{2}\approx\frac{4,957456 - 0,0587237\cdot17,559523809}{0,3191491}\approx 12,302380952.
Didática: esta é uma operação aritmética direta; primeiro multiplica-se o coeficiente de x_{3} pelo valor encontrado para x_{3}, subtrai-se do lado direito e divide-se pelo coeficiente de x_{2}.

Passo 8

Finalmente, usar a primeira equação para x_{1}:
x_{1}=\frac{8 - 0,16\cdot x_{2} - 0,24\cdot x_{3}}{0,987}.
Substituindo x_{2} e x_{3} obtidos:
x_{1}\approx\frac{8 - 0,16\cdot 12,302380952 - 0,24\cdot 17,559523809}{0,987}\approx 1,843015873.
Breve verificação (didática): sempre é bom checar multiplicando A por x e comparando com b. Com os valores encontrados a multiplicação produz \approx(7,8,9)^{T} dentro do erro de arredondamento mostrado — portanto a solução está consistente.

Resposta

x_{1}=1,843015873
x_{2}=12,302380952
x_{3}=17,559523809

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