Resolva o sistema utilizando um dos métodos diretos vistos.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear 3\times3. As incógnitas são x_{1},x_{2},x_{3}. A matriz dos coeficientes e o vetor do lado direito, retirados do enunciado, são:
O que o problema pede: encontrar o vetor x=\begin{bmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\\[2pt]x_{3}\end{bmatrix} que satisfaz A x=b.]
Passo 2
Escolha do método (explanação didática):
Vou usar eliminação de Gauss com pivoteamento (troca de linhas quando necessário), que é um método direto clássico. O procedimento tem duas fases:
eliminação (transformar a matriz aumentada [A\mid b] numa forma triangular superior), usando operações elementares sobre linhas;
retro-substituição (resolver a partir da última equação para cima).
Por que pivoteamento? Quando um elemento pivô (o coeficiente na diagonal) é pequeno, a divisão pode amplificar erros numéricos; trocar a linha por outra com pivô maior reduz esse efeito. Vou mostrar passo a passo os pivôs e os multiplicadores usados.
Passo 3
Escrevendo a matriz aumentada inicial (peguei os números do enunciado):
Primeiro passo da eliminação: procurar o maior valor em módulo na coluna 1 entre as linhas 1–3 para usar como pivô. Os valores da coluna 1 são 0,252, 0,987, 0,147. O maior é 0,987 (linha 2), então trocamos a linha 1 com a linha 2 (pivoteamento por linha).
Atualizamos as linhas 2 e 3 por \text{R}_i \leftarrow \text{R}_i - m_{i1}\,\text{R}_1.
Cálculo das novas linhas (arredondei a cada entrada para 9 casas decimais para clareza; os cálculos exatos abaixo produzem os mesmos resultados numa precisão apropriada):
Observação didática: a primeira coluna abaixo do pivô foi zerada exatamente (teoricamente) por construção; os números apresentados têm pequenas aproximações por escrita decimal.]
Passo 5
Agora pivotamos na segunda coluna entre as linhas 2 e 3 (entre os elementos 0,3191491 e 0,1861696). O maior em módulo é 0,3191491 (já está na linha 2), então mantemos as linhas como estão (nenhuma troca nesta etapa).
Didática: esta é uma operação aritmética direta; primeiro multiplica-se o coeficiente de x_{3} pelo valor encontrado para x_{3}, subtrai-se do lado direito e divide-se pelo coeficiente de x_{2}.
Breve verificação (didática): sempre é bom checar multiplicando A por x e comparando com b. Com os valores encontrados a multiplicação produz \approx(7,8,9)^{T} dentro do erro de arredondamento mostrado — portanto a solução está consistente.