Pedido: encontrar \,x_{1},x_{2},x_{3}\, resolvendo o sistema por eliminação de Gauss com pivoteamento parcial (ou seja, em cada passo escolher como pivô o elemento de maior valor absoluto na coluna).]
Passo 2
Escrevo a matriz aumentada inicial (cada linha é [\;a_{i1}\\ a_{i2}\\ a_{i3}\;\mid\;b_i\;]):
Pivoteamento parcial na coluna 1: comparar os valores absolutos |a_{11}|=1,\\ |a_{21}|=1,\\ |a_{31}|=4. O maior é |a_{31}|=4, portanto troco R_1 com R_3 para colocar o pivô maior na primeira linha:
(Explicação rápida: o pivoteamento parcial evita divisões por números pequenos e reduz erro numérico.)]
Passo 4
Agora elimino as entradas abaixo do pivô a_{11}=-4. Para cada linha i calculo o multiplicador \,m_{i1}=\dfrac{a_{i1}}{a_{11}}\, e atualizo R_i \leftarrow R_i - m_{i1}R_1.
Agora passo para a coluna 2 e escolho pivô entre as linhas 2 e 3 (linhas abaixo e incluindo a atual). Comparo \left|\tfrac{13}{4}\right|=\tfrac{13}{4} e \left|\tfrac{7}{4}\right|=\tfrac{7}{4}. O maior é \tfrac{13}{4} (já está em R_2), então NÃO há troca de linhas nesta etapa.
(Explicação: em pivoteamento parcial escolhe-se o maior valor absoluto na coluna corrente entre as linhas restantes.)
Passo 7
Elimino a entrada abaixo do pivô a_{22}=\tfrac{13}{4}. O multiplicador é