Considere o seguinte sistema de equações lineares:
\left[\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 2 \\\\ 1 & 3 & 0 \\\\ -4 & 1 & 8 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} -1 \\\\ 4 \\\\ -3 \end{array}\right]
Resolva o sistema dado usando o método de eliminação de Gauss com pivoteamento parcial.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear na forma matricial. Vou listar claramente o que é fornecido e o que se pede:
  • Matriz dos coeficientes e vetor termo independente:
\begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\\\ 1 & 3 & 0 \\\\ -4 & 1 & 8 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} -1 \\[4pt] 4 \\[4pt] -3 \end{pmatrix}.
  • Pedido: encontrar \,x_{1},x_{2},x_{3}\, resolvendo o sistema por eliminação de Gauss com pivoteamento parcial (ou seja, em cada passo escolher como pivô o elemento de maior valor absoluto na coluna).]

Passo 2

Escrevo a matriz aumentada inicial (cada linha é [\;a_{i1}\\ a_{i2}\\ a_{i3}\;\mid\;b_i\;]):
\begin{array}{rcl} R_1 &:& [-1\\ \\\ 2\\ \\\ 2\mid -1],\\[4pt] R_2 &:& [1\\ \\\ 3\\ \\\ 0\mid 4],\\[4pt] R_3 &:& [-4\\ \\\ 1\\ \\\ 8\mid -3]. \end{array}]

Passo 3

Pivoteamento parcial na coluna 1: comparar os valores absolutos |a_{11}|=1,\\ |a_{21}|=1,\\ |a_{31}|=4. O maior é |a_{31}|=4, portanto troco R_1 com R_3 para colocar o pivô maior na primeira linha:
\begin{array}{rcl} R_1 &:& [-4\\ \\\ 1\\ \\\ 8\mid -3],\\[4pt] R_2 &:& [1\\ \\\ 3\\ \\\ 0\mid 4],\\[4pt] R_3 &:& [-1\\ \\\ 2\\ \\\ 2\mid -1]. \end{array}
(Explicação rápida: o pivoteamento parcial evita divisões por números pequenos e reduz erro numérico.)]

Passo 4

Agora elimino as entradas abaixo do pivô a_{11}=-4. Para cada linha i calculo o multiplicador \,m_{i1}=\dfrac{a_{i1}}{a_{11}}\, e atualizo R_i \leftarrow R_i - m_{i1}R_1.
Cálculos dos multiplicadores:
m_{21}=\dfrac{1}{-4}=-\tfrac{1}{4},\qquad m_{31}=\dfrac{-1}{-4}=\tfrac{1}{4}.

Passo 5

Aplico as operações e calculo cada nova linha (faço as contas com frações exatas):
Para R_2:
R_2 \leftarrow R_2 - m_{21}R_1 = R_2 -\big(-\tfrac{1}{4}\big)R_1 = R_2 + \tfrac{1}{4}R_1.
\tfrac{1}{4}R_1 = [-1\\ \\ \tfrac{1}{4}\\ \\\ 2\mid -\tfrac{3}{4}],
R_2 = [1\\ \\\ 3\\ \\\ 0\mid 4] + [-1\\ \\ \tfrac{1}{4}\\ \\\ 2\mid -\tfrac{3}{4}] = [0\\ \\ \tfrac{13}{4}\\ \\\ 2\mid \tfrac{13}{4}].
Para R_3:
R_3 \leftarrow R_3 - m_{31}R_1 = R_3 - \tfrac{1}{4}R_1.
R_3 = [-1\\ \\\ 2\\ \\\ 2\mid -1] - [-1\\ \\ \tfrac{1}{4}\\ \\\ 2\mid -\tfrac{3}{4}] = [0\\ \\ \tfrac{7}{4}\\ \\\ 0\mid -\tfrac{1}{4}].
A matriz aumentada após o primeiro estágio fica:
\begin{array}{rcl} R_1 &:& [-4\\ \\\ 1\\ \\\ 8\mid -3],\\[4pt] R_2 &:& [0\\ \\ \tfrac{13}{4}\\ \\\ 2\mid \tfrac{13}{4}],\\[4pt] R_3 &:& [0\\ \\ \tfrac{7}{4}\\ \\\ 0\mid -\tfrac{1}{4}]. \end{array}]

Passo 6

Agora passo para a coluna 2 e escolho pivô entre as linhas 2 e 3 (linhas abaixo e incluindo a atual). Comparo \left|\tfrac{13}{4}\right|=\tfrac{13}{4} e \left|\tfrac{7}{4}\right|=\tfrac{7}{4}. O maior é \tfrac{13}{4} (já está em R_2), então NÃO há troca de linhas nesta etapa.
(Explicação: em pivoteamento parcial escolhe-se o maior valor absoluto na coluna corrente entre as linhas restantes.)

Passo 7

Elimino a entrada abaixo do pivô a_{22}=\tfrac{13}{4}. O multiplicador é
m_{32}=\dfrac{a_{32}}{a_{22}}=\dfrac{\tfrac{7}{4}}{\tfrac{13}{4}}=\dfrac{7}{13}.
Atualizo R_3 \leftarrow R_3 - m_{32}R_2.
Calculo m_{32}R_2 = \dfrac{7}{13}[0\\ \\ \tfrac{13}{4}\\ \\\ 2\mid \tfrac{13}{4}] = [0\\ \\ \tfrac{7}{4}\\ \\ \tfrac{14}{13}\mid \tfrac{7}{4}].
Subtraindo em R_3:
R_3 = [0\\ \\ \tfrac{7}{4}\\ \\\ 0\mid -\tfrac{1}{4}] - [0\\ \\ \tfrac{7}{4}\\ \\ \tfrac{14}{13}\mid \tfrac{7}{4}] = [0\\ \\\ 0\\ \\\ -\tfrac{14}{13}\mid -2].

Passo 8

Agora a matriz está em forma triangular superior (sem entradas abaixo da diagonal):
\begin{array}{rcl} R_1 &:& [-4\\ \\\ 1\\ \\\ 8\mid -3],\\[4pt] R_2 &:& [0\\ \\ \tfrac{13}{4}\\ \\\ 2\mid \tfrac{13}{4}],\\[4pt] R_3 &:& [0\\ \\\ 0\\ \\\ -\tfrac{14}{13}\mid -2]. \end{array}
Explicação: a etapa de eliminação terminou quando todas as entradas abaixo da diagonal principal ficaram nulas.]

Passo 9

Agora faço a substituição para trás (back substitution). Começo por resolver a equação da última linha para \,x_{3}.
A terceira linha dá:
-\tfrac{14}{13}\,x_{3} = -2.
Isolando \,x_{3}:
x_{3} = \dfrac{-2}{-\tfrac{14}{13}} = (-2)\cdot\left(-\tfrac{13}{14}\right)=\tfrac{26}{14}=\tfrac{13}{7}.

Passo 10

Agora uso a segunda linha para encontrar \,x_{2}. A segunda linha é:
\tfrac{13}{4}\,x_{2} + 2\,x_{3} = \tfrac{13}{4}.
Substituo \,x_{3}=\tfrac{13}{7}:
\tfrac{13}{4}\,x_{2} = \tfrac{13}{4} - 2\cdot\tfrac{13}{7}.
Calculo o lado direito com denominador comum 28:
\tfrac{13}{4} - \tfrac{26}{7} = \tfrac{91}{28} - \tfrac{104}{28} = -\tfrac{13}{28}.
Logo
x_{2} = \dfrac{-\tfrac{13}{28}}{\tfrac{13}{4}} = -\tfrac{13}{28}\cdot \tfrac{4}{13} = -\tfrac{1}{7}.

Passo 11

Finalmente uso a primeira linha para obter \,x_{1}. A primeira linha é:
-4\,x_{1} + 1\cdot x_{2} + 8\,x_{3} = -3.
Substituo \,x_{2}=-\tfrac{1}{7} e \,x_{3}=\tfrac{13}{7}:
-4\,x_{1} = -3 - x_{2} - 8x_{3} = -3 -\big(-\tfrac{1}{7}\big) - 8\cdot\tfrac{13}{7}.
Calculo o lado direito com denominador 7:
-3 + \tfrac{1}{7} - \tfrac{104}{7} = -\tfrac{21}{7} + \tfrac{1}{7} - \tfrac{104}{7} = -\tfrac{124}{7}.
Assim
-4\,x_{1} = -\tfrac{124}{7}\quad\Rightarrow\quad x_{1} = \dfrac{-\tfrac{124}{7}}{-4} = \dfrac{124}{28} = \dfrac{31}{7}.

Passo 12

(Verificação rápida — opcional mas boa prática) Substituir \,x_{1}=\tfrac{31}{7},\\ x_{2}=-\tfrac{1}{7},\\ x_{3}=\tfrac{13}{7}\, nas equações originais retorna os termos direitos -1,4,-3, confirmando a solução.

Resposta

x_{1}=\tfrac{31}{7}
x_{2}=-\tfrac{1}{7}
x_{3}=\tfrac{13}{7}

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