Considere as seguintes afirmativas sobre o regime eletrostático: (I) O campo eletrostático é sempre perpendicular à superfície de um material isolante; (II) Se o potencial eletrostático é nulo em um ponto de espaço, então o campo elétrico nesse ponto também é nulo, e (III) Duas superfícies equipotenciais associadas a valores distintos do potencial eletrostático podem se intersectar. De tais afirmativas, qual(s) é(são) a(s) verdadeira(s)?
(a) Nenhuma delas.
(b) I.
(c) II.
(d) III.
(e) I e II.
(f) I e III.
(g) II e III.
(h) Todas elas.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmativas sobre regime eletrostático e pede quais são verdadeiras. As afirmativas são:
(I) O campo eletrostático é sempre perpendicular à superfície de um material isolante.
(II) Se o potencial eletrostático é nulo em um ponto de espaço, então o campo elétrico nesse ponto também é nulo.
(III) Duas superfícies equipotenciais associadas a valores distintos do potencial eletrostático podem se intersectar.
A tarefa é avaliar cada uma (I), (II) e (III) e dizer qual(is) é(são) verdadeira(s).

Passo 2

Conceitos fundamentais que vou usar (explicados com calma):
  • O potencial eletrostático V(\vec r) é uma função escalar do espaço que descreve a energia potencial por unidade de carga em cada ponto.
  • O campo elétrico \vec E(\vec r) está relacionado ao potencial por
\vec E(\vec r) = -\nabla V(\vec r),
onde \nabla V é o gradiente de V. Aqui:
  • \vec E(\vec r) é o vetor campo elétrico no ponto \vec r,
  • \nabla V tem componentes \left(\dfrac{\partial V}{\partial x},\dfrac{\partial V}{\partial y},\dfrac{\partial V}{\partial z}\right).
  • Uma superfície equipotencial é o conjunto de pontos onde V tem o mesmo valor constante, ou seja, \{ \vec r \mid V(\vec r)=\text{constante} \}.
  • Propriedade útil: \vec E é sempre perpendicular às superfícies equipotenciais, porque o gradiente aponta na direção de maior variação de V e é ortogonal às curvas/superfícies de nível.
Vou usar essas ideias para analisar cada afirmativa.

Passo 3

Análise da afirmativa (I): “O campo eletrostático é sempre perpendicular à superfície de um material isolante.”
Primeiro ponto importante: existe uma distinção entre “superfície de um condutor” e “superfície de um isolante”. Para um condutor em equilíbrio eletrostático vale que o campo elétrico imediatamente fora da superfície é perpendicular à superfície. Isso é uma consequência de que cargas livres se redistribuem até anular qualquer componente tangencial (um componente tangencial faria corrente e por isso não é compatível com equilíbrio estático). Mas a afirmativa fala de um material isolante: em isolantes as cargas não se movem livremente para anular componentes tangenciais; portanto não há razão geral para que \vec E seja perpendicular à superfície de um isolante.
Contraexemplo concreto (matematicamente simples): considere um ponto carga q localizada em (0,0,a) com a>0, e uma superfície plana (uma folha isolante) no plano z=0. Calcule o campo no ponto da superfície (x,0,0). O vetor posição relativo da carga até esse ponto é \vec r = (x,0,-a). O campo da carga pontual é proporcional a
\vec E(\vec r)=k\;q\;\dfrac{\vec r}{\lVert \vec r\rVert^{3}} = kq\;\dfrac{(x,0,-a)}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}},
onde k é a constante de Coulomb. A componente tangencial à superfície (no sentido x) é
E_x = kq\;\dfrac{x}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}.
Para x\neq 0 temos E_x\neq 0. A normal ao plano z=0 é (0,0,1); portanto o campo não é puramente normal à superfície para pontos com x\neq0. Isso mostra explicitamente que, para uma superfície de um isolante, o campo pode ter componente tangencial. Logo a afirmativa (I) é falsa.

Passo 4

Análise da afirmativa (II): “Se o potencial eletrostático é nulo em um ponto de espaço, então o campo elétrico nesse ponto também é nulo.”
Explicação conceitual: o valor absoluto do potencial V em um ponto é definido só até uma constante aditiva (pode-se escolher a referência V=0 onde quiser). O campo elétrico \vec E depende das variações de V, isto é, do gradiente \nabla V, não do valor absoluto. Assim, ter V(\vec r_0)=0 não implica que \nabla V(\vec r_0)=\vec 0.
Contraexemplo simples e didático em 1D: escolha
V(x)=k x,
com k constante não-nula. Neste caso V(0)=0, mas
E(x) = -\dfrac{dV}{dx} = -k,
portanto E(0)=-k\neq 0. Logo é perfeitamente possível ter V=0 num ponto onde o campo não é nulo. Assim a afirmativa (II) é falsa.

Passo 5

Análise da afirmativa (III): “Duas superfícies equipotenciais associadas a valores distintos do potencial eletrostático podem se intersectar.”
Raciocínio lógico direto: uma superfície equipotencial é o conjunto de pontos onde V(\vec r) tem um valor fixo, digamos V(\vec r)=V_1. Outra superfície equipotencial com valor distinto tem V(\vec r)=V_2 com V_2\neq V_1. Se as duas superfícies tivessem algum ponto em comum \vec r^*, então deveria valer simultaneamente V(\vec r^*)=V_1 e V(\vec r^*)=V_2, o que é impossível porque um número não pode ter dois valores diferentes ao mesmo tempo. Portanto superfícies equipotenciais correspondentes a valores diferentes de V não podem se intersectar. Logo a afirmativa (III) é falsa.

Passo 6

Conclusão das análises: (I) é falsa (contraexemplo com carga pontual e plano isolante); (II) é falsa (exemplo V(x)=kx); (III) é falsa (contradição lógica: não se pode ter um ponto com dois valores de potencial diferentes). Portanto nenhuma das três afirmativas é verdadeira.

Resposta

(a)

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