Considere os seguintes conjuntos de pontos no espaço. Identifique as superfícies que determinam suas fronteiras e explique o que a região representa (ex: bola, cubo, prisma): D=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 16\right\}
Qual(is) a(s) superfície(s) que determinam a fronteira de D?
O que a região D representa geometricamente (por exemplo: bola, cubo, prisma, etc.)?
Informações relevantes fornecidas:
A condição x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 16 envolve soma de quadrados das coordenadas.
O número 16 aparece no lado direito da desigualdade e é não negativo.
Passo 2
Interpretação da expressão x^{2}+y^{2}+z^{2}. Defina a distância do ponto (x,y,z) à origem por
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Aqui r é um número não negativo que mede o quão longe o ponto está do centro (0,0,0). Substituindo na desigualdade do enunciado obtemos, de forma equivalente,
\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\le 4,
ou seja,
r\le 4.
Portanto D é o conjunto de todos os pontos cuja distância até a origem é menor ou igual a 4.
Passo 3
Identificação da fronteira. A fronteira de uma região dada por r\le 4 corresponde aos pontos onde a desigualdade se torna igualdade, isto é, aos pontos com
r=4.
Voltando às coordenadas cartesianas, essa igualdade é
x^{2}+y^{2}+z^{2}=16.
Essa equação é a equação clássica de uma esfera de raio 4 com centro na origem (0,0,0). Logo a superfície que determina a fronteira de D é a esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=16.
Passo 4
Diferença entre superfície e região. Explicando de modo bem claro:
A superfície \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=16\; é a casca esférica (apenas os pontos com distância exatamente 4 da origem). É um objeto bidimensional (uma superfície) embutido no espaço tridimensional.
A região D com \;x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 16\; contém essa casca mais todos os pontos do interior onde a distância é menor que 4. Em geometria isso chama-se bola fechada (ou bola sólida fechada) de raio 4 centrada na origem. Em notação comum: bola fechada \overline{B(0,4)}.
Passo 5
Exemplos concretos para fixar a ideia (testes rápidos):
O ponto (0,0,0) tem x^{2}+y^{2}+z^{2}=0\le 16, logo está no interior de D.
O ponto (4,0,0) tem 4^{2}+0+0=16, logo está na fronteira (na esfera).
O ponto (5,0,0) tem 25>16, logo está fora de D.
Passo 6
Algumas propriedades úteis e linguagem que costuma aparecer na prova (para decorar e saber usar):
Pode dizer que D é a bola fechada de raio 4 centrada em (0,0,0).
Se a desigualdade fosse estrita \;x^{2}+y^{2}+z^{2}<16\;, a região seria a bola aberta de raio 4 (não incluiria a superfície).
A fronteira (esfera) é uma superfície compacta e diferenciável (sem bordas) de dimensão 2.
Resposta
A superfície que determina a fronteira é a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16.
A região D representa a bola fechada (bola sólida) de raio 4 centrada na origem, ou seja \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 16\}.