Descreva geometricamente e esboce os seguintes subconjuntos do espaço
:
Passo 1
O enunciado pede para descrever geometricamente e esboçar o conjunto
Informações dadas:
- As três desigualdades
, e definem restrições sobre as coordenadas. - É pedido: (i) uma descrição geométrica clara do conjunto e (ii) um esboço (instruções para desenhar).
Passo 2
Interpretação geométrica básica: cada desigualdade
,
,
seleciona a metade positiva do respectivo eixo. As três juntas selecionam a parte do espaço onde todas as coordenadas são não-negativas, ou seja:
Isso é análogo ao primeiro quadrante do plano
(onde
), mas em
a porção correspondente ocupa 1/8 do espaço total — por isso costuma-se chamar de “primeiro octante” ou “ortoant positivo”.
Passo 3
Representação como cone gerado pelos vetores canônicos: seja
,
,
. Então qualquer ponto de
pode ser escrito como combinação linear com coeficientes não-negativos:
Explicação didática: isso significa que
é o cone convexo gerado por
. Intuitivamente, partindo da origem
e caminhando em direções paralelas aos eixos, com passos de tamanho não-negativo em cada eixo, obtém-se exatamente os pontos de
.
Passo 4
Descrição da fronteira e interior:
- Interior de
(pontos estritamente internos): . São os pontos do primeiro octante sem tocar os planos coordenados. - Fronteira de
: pontos onde pelo menos uma coordenada é zero e as outras são . Em termos de conjuntos:
Nessa fronteira estão as três faces (planos coordenados positivos), as três arestas (eixos positivos) e o vértice origem
.
Passo 5
Propriedades importantes (úteis para a prova):
-
é convexo: se então para todo , porque combinações convexas preservam a não-negatividade de cada coordenada. -
é fechado: é interseção das três semi‑espaços fechados , , . -
é não limitado (unbounded): os vetores com ficam em , logo estende-se indefinidamente. -
tem vértice na origem : é o único ponto onde todas as coordenadas são iguais a zero.
Passo 6
Seções e interseções que ajudam a visualizar:
- Interseção com um plano horizontal
com :
ou seja, um quadrante no plano
.
- Interseção com a esfera
(com ) dá a “oitava” superfície esférica situada no primeiro octante — uma oitava parte da superfície da esfera.
Essas seções ajudam a entender que, em qualquer plano paralelo ao planoacima do plano , a região é sempre um quadrante que cresce indefinidamente.
Passo 7
Como esboçar à mão (passo a passo para a prova):
- Desenhe três eixos em perspectiva: escolha
apontando para a direita, apontando para trás e à esquerda (numa linha inclinada para a esquerda) e para cima. Marque a origem . - Marque pontos unitários
, , ao longo de cada eixo na direção positiva. - Desenhe um cubo ou um triângulo entre os pontos
, , e a origem para dar referência; a região será a região “para dentro” desse canto, isto é, tudo que está do lado positivo de cada plano coordenado. - Sombreie a região entre os três planos coordenados do lado onde
são positivos — costuma-se sombrear apenas uma fatia próxima à origem (por exemplo dentro do cubo ) para indicar qual octante é o conjunto, porque sombrear tudo até o infinito fica impraticável. - Indique claramente as faces sobre os planos
, , como limites do sombreado e mostre que o conjunto continua além do cubo, apontando setas que indicam extensão.
Passo 8
Exemplos para verificar rapidamente no exame:
- Pontos interiores:
porque todas as coordenadas são positivas. - Pontos na fronteira:
(está na aresta do eixo ); (está na face ). - Pontos fora:
porque ; porque .
Dica prática: para checar pertença basta olhar o sinal das coordenadas.
Resposta
O conjunto
é o primeiro octante de
(também chamado de ortant positivo): a região fechada e convexa formada por todos os pontos com coordenadas não-negativas. Equivalente a dizer
ou seja, o cone convexo gerado por
,
,
, com vértice na origem e que se estende infinitamente nas direções positivas dos eixos.