Descreva geometricamente e esboce os seguintes subconjuntos do espaço \mathbb{R}^{3} :
C=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0\right\}

Passo 1

O enunciado pede para descrever geometricamente e esboçar o conjunto
C=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x\ge 0,\;y\ge 0,\;z\ge 0\}.
Informações dadas:
  • As três desigualdades x\ge 0, y\ge 0 e z\ge 0 definem restrições sobre as coordenadas.
  • É pedido: (i) uma descrição geométrica clara do conjunto e (ii) um esboço (instruções para desenhar).

Passo 2

Interpretação geométrica básica: cada desigualdade x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0 seleciona a metade positiva do respectivo eixo. As três juntas selecionam a parte do espaço onde todas as coordenadas são não-negativas, ou seja:
C=\{(x,y,z)\mid x\ge 0,\\ y\ge 0,\\ z\ge 0\}.
Isso é análogo ao primeiro quadrante do plano \mathbb{R}^2 (onde x\ge0,y\ge0), mas em \mathbb{R}^3 a porção correspondente ocupa 1/8 do espaço total — por isso costuma-se chamar de “primeiro octante” ou “ortoant positivo”.

Passo 3

Representação como cone gerado pelos vetores canônicos: seja e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1). Então qualquer ponto de C pode ser escrito como combinação linear com coeficientes não-negativos:
C=\{t_1 e_1 + t_2 e_2 + t_3 e_3 \mid t_1,t_2,t_3\ge 0\}.
Explicação didática: isso significa que C é o cone convexo gerado por e_1,e_2,e_3. Intuitivamente, partindo da origem (0,0,0) e caminhando em direções paralelas aos eixos, com passos de tamanho não-negativo em cada eixo, obtém-se exatamente os pontos de C.

Passo 4

Descrição da fronteira e interior:
  • Interior de C (pontos estritamente internos): \{(x,y,z)\mid x>0,\\ y>0,\\ z>0\}. São os pontos do primeiro octante sem tocar os planos coordenados.
  • Fronteira de C: pontos onde pelo menos uma coordenada é zero e as outras são \ge 0. Em termos de conjuntos:
\partial C=\{(x,y,z)\mid x=0,\\ y\ge0,\\ z\ge0\}\\ \cup\\ \{y=0,\\ x\ge0,\\ z\ge0\}\\ \cup\\ \{z=0,\\ x\ge0,\\ y\ge0\}.
Nessa fronteira estão as três faces (planos coordenados positivos), as três arestas (eixos positivos) e o vértice origem (0,0,0).

Passo 5

Propriedades importantes (úteis para a prova):
  • C é convexo: se u,v\in C então \lambda u+(1-\lambda)v\in C para todo \lambda\in[0,1], porque combinações convexas preservam a não-negatividade de cada coordenada.
  • C é fechado: é interseção das três semi‑espaços fechados \{x\ge0\}, \{y\ge0\}, \{z\ge0\}.
  • C é não limitado (unbounded): os vetores t e_1 com t\to\infty ficam em C, logo estende-se indefinidamente.
  • C tem vértice na origem (0,0,0): é o único ponto onde todas as coordenadas são iguais a zero.

Passo 6

Seções e interseções que ajudam a visualizar:
  • Interseção com um plano horizontal z=c com c\ge0:
C\cap\{z=c\}=\{(x,y,c)\mid x\ge0,\\ y\ge0\},
ou seja, um quadrante no plano z=c.
  • Interseção com a esfera \{x^2+y^2+z^2=R^2\} (com R>0) dá a “oitava” superfície esférica situada no primeiro octante — uma oitava parte da superfície da esfera.
    Essas seções ajudam a entender que, em qualquer plano paralelo ao plano xy acima do plano z=0, a região é sempre um quadrante que cresce indefinidamente.

Passo 7

Como esboçar à mão (passo a passo para a prova):
  1. Desenhe três eixos em perspectiva: escolha x apontando para a direita, y apontando para trás e à esquerda (numa linha inclinada para a esquerda) e z para cima. Marque a origem O=(0,0,0).
  2. Marque pontos unitários (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) ao longo de cada eixo na direção positiva.
  3. Desenhe um cubo ou um triângulo entre os pontos (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) e a origem para dar referência; a região C será a região “para dentro” desse canto, isto é, tudo que está do lado positivo de cada plano coordenado.
  4. Sombreie a região entre os três planos coordenados do lado onde x,y,z são positivos — costuma-se sombrear apenas uma fatia próxima à origem (por exemplo dentro do cubo [0,1]^3) para indicar qual octante é o conjunto, porque sombrear tudo até o infinito fica impraticável.
  5. Indique claramente as faces sobre os planos x=0, y=0, z=0 como limites do sombreado e mostre que o conjunto continua além do cubo, apontando setas que indicam extensão.

Passo 8

Exemplos para verificar rapidamente no exame:
  • Pontos interiores: (1,2,3)\in C porque todas as coordenadas são positivas.
  • Pontos na fronteira: (0,5,0)\in C (está na aresta do eixo y); (0,2,3)\in C (está na face x=0).
  • Pontos fora: (-1,1,1)\notin C porque x<0; (1,-1,2)\notin C porque y<0.
    Dica prática: para checar pertença basta olhar o sinal das coordenadas.

Resposta

O conjunto C é o primeiro octante de \mathbb{R}^3 (também chamado de ortant positivo): a região fechada e convexa formada por todos os pontos com coordenadas não-negativas. Equivalente a dizer
C=\{t_1 e_1 + t_2 e_2 + t_3 e_3 \mid t_1,t_2,t_3\ge 0\},
ou seja, o cone convexo gerado por e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1), com vértice na origem e que se estende infinitamente nas direções positivas dos eixos.

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