Considere as seguintes distribuições contínuas, todas com a mesma carga elétrica total,
, e em equilíbrio eletrostático: (I) uma casca esférica condutora de raio
, (II) uma bola esférica condutora de raio
, e (III) uma bola esférica isolante de raio
, uniformemente carregada em seu volume. Assinale a alternativa que dá a ordem crescente correta de energia elétrica armazenada
em cada uma das distribuições.
(a)
.
(b)
.
©
.
(d)
.
(e)
.
(f)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Beleza, o enunciado fala de três jeitos diferentes de guardar a mesma carga total
em esferas:
I) casca condutora de raio ,
II) esfera condutora de raio ,
III) esfera isolante (não condutora) de raio com carga distribuída igual no volume.
O que a gente quer é a energia eletrostática armazenada em cada uma: ,
e
, e ordenar de menor pra maior.
Conteúdo principal:
I) casca condutora de raio
II) esfera condutora de raio
III) esfera isolante (não condutora) de raio
O que a gente quer é a energia eletrostática armazenada em cada uma:
Conteúdo principal:
- Para condutor, usar
e saber que a capacitância de uma esfera isolada é . - Para distribuição volumétrica isolante, usar densidade de energia
e integrar sobre todo o espaço.
Passo 2
Calcular
, energia da casca condutora de raio
.
- A capacitância vale
- Aí a energia é
Passo 3
Calcular
, energia da esfera condutora de raio
.
- A capacitância agora é
- Logo
Repara que
(porque dividir o raio pela metade dobra a energia).
Passo 4
Calcular
, energia da esfera isolante de raio
com carga volumétrica uniforme.
- O campo dentro (
) é
e fora (
- A densidade de energia é
. Então
- Fazendo as contas (é só polinômio e integral de
), chega-se a
Passo 5
Agora comparamos os três:
Para ver quem é menor:
então
Resposta
A ordem crescente é