Considere as seguintes distribuições contínuas, todas com a mesma carga elétrica total, Q, e em equilíbrio eletrostático: (I) uma casca esférica condutora de raio R, (II) uma bola esférica condutora de raio R / 2, e (III) uma bola esférica isolante de raio R, uniformemente carregada em seu volume. Assinale a alternativa que dá a ordem crescente correta de energia elétrica armazenada Ui(i=I, II, III) em cada uma das distribuições.
(a) U I .
(b) U II .
© U II .
(d) U III .
(e) U I .
(f) U III .

Passo 1

Beleza, o enunciado fala de três jeitos diferentes de guardar a mesma carga total Q em esferas:
I) casca condutora de raio R,
II) esfera condutora de raio R/2,
III) esfera isolante (não condutora) de raio R com carga distribuída igual no volume.
O que a gente quer é a energia eletrostática armazenada em cada uma: UI, UII e UIII, e ordenar de menor pra maior.
Conteúdo principal:
  1. Para condutor, usar U = dfracQ^22C e saber que a capacitância de uma esfera isolada é C = 4pivarepsilon0,Rrm efetivo.
  2. Para distribuição volumétrica isolante, usar densidade de energia u = tfracvarepsilon02E^2 e integrar sobre todo o espaço.

Passo 2

Calcular UI, energia da casca condutora de raio R.
  • A capacitância vale
CI = 4pivarepsilon0,R,
- Aí a energia é
UI = Q^22CI = Q^22,(4pivarepsilon0 R) = Q^28pivarepsilon0,R,

Passo 3

Calcular UII, energia da esfera condutora de raio R/2.
  • A capacitância agora é
CII = 4pivarepsilon0,l(R2r) = 2pivarepsilon0,R,
- Logo
UII = Q^22CII = Q^22,(2pivarepsilon0 R) = Q^24pivarepsilon0,R,
Repara que UII = 2,UI, (porque dividir o raio pela metade dobra a energia).

Passo 4

Calcular UIII, energia da esfera isolante de raio R com carga volumétrica uniforme.
  1. O campo dentro ( r) é
Erm in(r) = 14pivarepsilon0,Q,rR^3,
e fora ( r>R) é o de uma carga pontual
Erm out(r) = 14pivarepsilon0,Qr^2
  1. A densidade de energia é u = tfracvarepsilon02E^2. Então
UIII = varepsilon02integral0^infty E^2(r),4pi r^2,dr = varepsilon02l[integral0^R Erm in^2,4pi r^2dr + integralR^infty Erm out^2,4pi r^2drr]
  1. Fazendo as contas (é só polinômio e integral de r^-2), chega-se a
UIII = 3,Q^220pivarepsilon0,R,

Passo 5

Agora comparamos os três:
  • UI = dfracQ^28pivarepsilon0 R,
  • UIII = dfrac3,Q^220pivarepsilon0 R,
  • UII = dfracQ^24pivarepsilon0 R,
Para ver quem é menor:
UIIIUI = tfrac320tfrac18 = 320times 8 = 2420=1,2,
então UIII>UI. E como UII=2UI, temos UI < UIII < UII.

Resposta

A ordem crescente é
boxedUI < UIII < UII,

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