Considere um solenoide de raio
, com
voltas e comprimento
, contendo em seu interior um outro solenoide de raio
, com
voltas, de mesmo comprimento e com o mesmo eixo. Obtenha a expressão para a indutância mútua deste arranjo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um problema envolvendo dois solenoides, que são aqueles enrolamentos de fio que criam campos magnéticos quando a corrente passa por eles. O exercício nos pede para encontrar a indutância mútua entre esses dois solenoides. Para isso, vamos precisar entender de indutância mútua, campos magnéticos gerados por solenoides e como aplicar as fórmulas relacionadas. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é indutância mútua. Quando temos dois circuitos próximos um do outro, a corrente em um pode induzir uma força eletromotriz no outro. A medida dessa interação é chamada de indutância mútua, representada pela letra $ M $.
Passo 3
Agora, vamos visualizar os dois solenoides. O solenoide maior tem raio $ R_2 $, $ N_2 $ voltas e comprimento $ \ell $. Dentro dele, está um solenoide menor com raio $ R_1 $, $ N_1 $ voltas, mesmo comprimento $ \ell $ e alinhados pelo mesmo eixo. Como os solenoides estão concentrados um dentro do outro, o campo magnético criado por um vai passar completamente pelo outro.
Passo 4
Para encontrar a indutância mútua $ M $, usamos a fórmula:
Aqui, $ \Phi_1 $ é o fluxo magnético através de uma única volta do segundo solenoide devido à corrente $ I_1 $ no primeiro solenoide.
Passo 5
Primeiro, precisamos encontrar o campo magnético $ B $ gerado pelo primeiro solenoide. A fórmula para o campo magnético no interior de um solenoide é:
onde $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo.
Passo 6
O fluxo magnético $ \Phi_1 $ que passa por uma volta do segundo solenoide é o produto do campo $ B $ pela área da seção transversal do solenoide menor. A área $ A $ de um círculo é $ \pi R_1^2 $, então:
Passo 7
Agora substituímos $ \Phi_1 $ na fórmula da indutância mútua:
Como queremos a indutância mútua independentemente das correntes $ I_1 $ e $ I_2 $, assumimos que $ I_2 $ é a corrente que cria o campo magnético que induz $ \Phi_1 $.
Passo 8
Simplificando a expressão, percebemos que $ I_1 $ e $ I_2 $ se cancelam se considerarmos que a corrente $ I_1 $ gera o campo que induz no segundo solenoide. Então, temos:
Resposta
A indutância mútua desse arranjo de solenoides é dada por: