Considere um solenoide de raio R2, com N2 voltas e comprimento ell, contendo em seu interior um outro solenoide de raio R1, com N1 voltas, de mesmo comprimento e com o mesmo eixo. Obtenha a expressão para a indutância mútua deste arranjo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um problema envolvendo dois solenoides, que são aqueles enrolamentos de fio que criam campos magnéticos quando a corrente passa por eles. O exercício nos pede para encontrar a indutância mútua entre esses dois solenoides. Para isso, vamos precisar entender de indutância mútua, campos magnéticos gerados por solenoides e como aplicar as fórmulas relacionadas. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é indutância mútua. Quando temos dois circuitos próximos um do outro, a corrente em um pode induzir uma força eletromotriz no outro. A medida dessa interação é chamada de indutância mútua, representada pela letra $ M $.

Passo 3

Agora, vamos visualizar os dois solenoides. O solenoide maior tem raio $ R_2 $, $ N_2 $ voltas e comprimento $ \ell $. Dentro dele, está um solenoide menor com raio $ R_1 $, $ N_1 $ voltas, mesmo comprimento $ \ell $ e alinhados pelo mesmo eixo. Como os solenoides estão concentrados um dentro do outro, o campo magnético criado por um vai passar completamente pelo outro.

Passo 4

Para encontrar a indutância mútua $ M $, usamos a fórmula:
M
Aqui, $ \Phi_1 $ é o fluxo magnético através de uma única volta do segundo solenoide devido à corrente $ I_1 $ no primeiro solenoide.

Passo 5

Primeiro, precisamos encontrar o campo magnético $ B $ gerado pelo primeiro solenoide. A fórmula para o campo magnético no interior de um solenoide é:
B
onde $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo.

Passo 6

O fluxo magnético $ \Phi_1 $ que passa por uma volta do segundo solenoide é o produto do campo $ B $ pela área da seção transversal do solenoide menor. A área $ A $ de um círculo é $ \pi R_1^2 $, então:
Phi1

Passo 7

Agora substituímos $ \Phi_1 $ na fórmula da indutância mútua:
Phi1
Como queremos a indutância mútua independentemente das correntes $ I_1 $ e $ I_2 $, assumimos que $ I_2 $ é a corrente que cria o campo magnético que induz $ \Phi_1 $.

Passo 8

Simplificando a expressão, percebemos que $ I_1 $ e $ I_2 $ se cancelam se considerarmos que a corrente $ I_1 $ gera o campo que induz no segundo solenoide. Então, temos:
I1

Resposta

A indutância mútua desse arranjo de solenoides é dada por:
M = mu0 N1 N2 pi R1^2ell

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