Considere as seguintes funções e encontre as derivadas parciais indicadas:
f(x, y)=3 x^{2}+4 y^{3};

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais indicadas da função dada. Dados fornecidos:
f(x,y)=3x^{2}+4y^{3}.
Vou entender que as derivadas parciais pedidas são \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} (as duas usuais). Esses são os elementos que usaremos para resolver o problema.

Passo 2

O que é derivada parcial? Vou explicar de um jeito prático: a derivada parcial de f em relação a x mede como f varia quando só mexemos em x e mantemos y fixo. Formalmente, a definição por limite é
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Na prática para funções polinomiais usamos a regra do poder (power rule): se g(x)=x^{n}, então \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Quando houver termos que dependem só de y, eles são constantes ao derivarmos em relação a x, logo sua derivada em relação a x é zero.

Passo 3

Calculemos \dfrac{\partial f}{\partial x} aplicando o que falei: trate y como constante e derivar termo a termo.
O primeiro termo é 3x^{2}. Pela regra do poder e fator constante:
\frac{d}{dx}(3x^{2})=3\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=3\cdot(2x)=6x.
O segundo termo é 4y^{3}. Como aqui y é tratado como constante, 4y^{3} é uma constante em relação a x, então
\frac{d}{dx}(4y^{3})=0.
Somando os resultados termo a termo:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=6x+0=6x.

Passo 4

Agora o mesmo raciocínio para \dfrac{\partial f}{\partial y}. A derivada parcial em relação a y mede a variação de f quando só mexemos em y, mantendo x fixo. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Na prática tratamos x como constante e aplicamos a regra do poder aos termos que dependem de y.

Passo 5

Derivando termo a termo em relação a y:
O termo 3x^{2} depende somente de x, então, com x fixo, é constante em relação a y. Logo
\frac{d}{dy}(3x^{2})=0.
O termo 4y^{3}: aplicando a regra do poder com fator constante,
\frac{d}{dy}(4y^{3})=4\cdot\frac{d}{dy}(y^{3})=4\cdot(3y^{2})=12y^{2}.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0+12y^{2}=12y^{2}.

Passo 6

Um pequeno exemplo numérico para fixar: se quiser avaliar as derivadas no ponto (x,y)=(1,2),
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=6\cdot 1=6,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=12\cdot 2^{2}=12\cdot 4=48.
Dica rápida para a prova: sempre identifique qual variável você está diferenciando e trate a outra como constante; use a regra do poder e multiplique pelo fator constante.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=6x
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=12y^{2}

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