Considere as seguintes funções e encontre as derivadas parciais indicadas:
;
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais indicadas da função dada. Dados fornecidos:
Vou entender que as derivadas parciais pedidas são
e
(as duas usuais). Esses são os elementos que usaremos para resolver o problema.
Passo 2
O que é derivada parcial? Vou explicar de um jeito prático: a derivada parcial de
em relação a
mede como
varia quando só mexemos em
e mantemos
fixo. Formalmente, a definição por limite é
Na prática para funções polinomiais usamos a regra do poder (power rule): se
, então
. Quando houver termos que dependem só de
, eles são constantes ao derivarmos em relação a
, logo sua derivada em relação a
é zero.
Passo 3
Calculemos
aplicando o que falei: trate
como constante e derivar termo a termo.
O primeiro termo é . Pela regra do poder e fator constante:
O primeiro termo é
O segundo termo é
. Como aqui
é tratado como constante,
é uma constante em relação a
, então
Somando os resultados termo a termo:
Passo 4
Agora o mesmo raciocínio para
. A derivada parcial em relação a
mede a variação de
quando só mexemos em
, mantendo
fixo. Formalmente,
Na prática tratamos
como constante e aplicamos a regra do poder aos termos que dependem de
.
Passo 5
Derivando termo a termo em relação a
:
O termo depende somente de
, então, com
fixo, é constante em relação a
. Logo
O termo
O termo
: aplicando a regra do poder com fator constante,
Somando:
Passo 6
Um pequeno exemplo numérico para fixar: se quiser avaliar as derivadas no ponto
,
Dica rápida para a prova: sempre identifique qual variável você está diferenciando e trate a outra como constante; use a regra do poder e multiplique pelo fator constante.