Descreva o domínio das seguintes funções:
f(x, y)=\sqrt{2 x+y-4};

Passo 1

O enunciado pede: descrever o domínio da função f(x,y)=\sqrt{2x+y-4}.
Informações dadas: a função é explícita e usa raiz quadrada real aplicada ao termo 2x+y-4. O que precisamos determinar é o conjunto de todos os pares (x,y) para os quais a expressão dentro da raiz é válida (ou seja, produz um número real).

Passo 2

Conceito necessário (passo-a-passo): a raiz quadrada principal \sqrt{\cdot} está definida em \mathbb{R} somente para argumentos não negativos. Em palavras simples: não podemos tirar a raiz quadrada real de um número negativo. Logo, para que f(x,y) seja real, devemos ter que o radicando satisfaz
2x+y-4 \ge 0.
Aqui eu chamo de radicando a expressão dentro da raiz, que é 2x+y-4.

Passo 3

Agora resolvemos a desigualdade para deixar o domínio em forma mais clara. Partimos de
2x+y-4 \ge 0.
Isolando y, passo a passo:
2x+y-4 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad y-4 \ge -2x
\quad\Longrightarrow\quad y \ge -2x+4.
É comum escrever a constante primeiro, então reescrevemos como
y \ge 4-2x.

Passo 4

Interpretação geométrica e comentários didáticos: a desigualdade y \ge 4-2x descreve um semiplano fechado no plano (x,y). A fronteira desse semiplano é a reta
y = 4-2x,
que tem coeficiente angular -2 (ou seja, desce 2 unidades em y para cada aumento de 1 em x) e intercepto em y igual a 4. Por exemplo, a reta passa pelos pontos (0,4) e (2,0). O domínio inclui a reta (porque a desigualdade é \ge, igualdade permitida) e todos os pontos “acima” dela no sentido usual do eixo y.

Passo 5

Exemplos rápidos para treinar a verificação de pontos:
  • O ponto (0,4): 2\cdot 0 + 4 - 4 = 0, pertence ao domínio (é ponto da fronteira).
  • O ponto (0,5): 2\cdot 0 + 5 - 4 = 1 \ge 0, pertence ao domínio (está dentro do semiplano).
  • O ponto (0,3): 2\cdot 0 + 3 - 4 = -1 < 0, não pertence ao domínio (está fora do semiplano).

Passo 6

Conclusão prática para prova: basta escrever a condição 2x+y-4\ge 0 e, se preferir, isolá-la como y\ge 4-2x. Geometricamente, o domínio é o semiplano fechado acima da reta y=4-2x.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y \ge 4-2x\}

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