Considere as seguintes matrizes:
 
Realize as seguintes operações:
(a) 
A+D 
(b) 
A B 
© 
(B A)^T 
(d) 
(E-B) F 
(e) 
B^T E 
(f) 
I2+2 C+C^2 
(g) 
(I2+C)^2 
(h) 
C^3 F  .
(i) 
A A^T 
(j) 
F D E  
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
Passo 1
Oi! Vamos resolver juntos os exercícios sobre operações com matrizes. Vou te ajudar passo a passo, explicando tudo de forma bem simples para você entender direitinho. Vamos precisar conhecer algumas operações básicas de álgebra linear, como adição, multiplicação, transposição, e potenciação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos somar as matrizes 
  e 
 . Para somar duas matrizes, elas precisam ter o mesmo tamanho, ou seja, o mesmo número de linhas e colunas. As matrizes 
  e 
  são ambas de ordem 
 .
Passo 3
Vamos somar cada elemento correspondente:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar as matrizes 
  e 
 . A multiplicação de matrizes só é possível se o número de colunas de 
  for igual ao número de linhas de 
 . 
  é 
  e 
  é 
 , então podemos multiplicá-las.
Passo 5
A fórmula para a multiplicação de matrizes é:
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante 
 :
Passo 6
Calculando cada elemento:
Passo 7
Vamos calcular a transposta de 
 , ou seja, 
 . Primeiro, precisamos multiplicar 
  por 
  e depois transpor o resultado.
Passo 8
Primeiro, multiplicamos 
  (
 ) por 
  (
 ). O resultado será uma matriz 
 .
Passo 9
Calculando:
Agora, transpondo 
 (B times A)^T =  39 & 49 & 59  54 & 68 & 82  69 & 87 & 105    :
Passo 10
Vamos calcular 
 . Primeiro, precisamos subtrair 
  de 
 , e depois multiplicar o resultado pela matriz 
 .
Passo 11
Primeiro, subtraímos 
  (
 ) de 
  (
 ). Depois, multiplicamos a matriz resultante (
 ) por 
  (
 ), resultando em uma matriz 
 .
Passo 12
Agora, multiplicamos 
 (E - B) times F =  -8 & -6  -6 & -10  -7 & -11   5 & 1  -2 & 3  =  -8*5 + (-6)*(-2) & -8*1 + (-6)*3  -6*5 + (-10)*(-2) & -6*1 + (-10)*3  -7*5 + (-11)*(-2) & -7*1 + (-11)*3     por 
 (E - B) times F =  -40 + 12 & -8 - 18  -30 + 20 & -6 - 30  -35 + 22 & -7 - 33  =  -28 & -26  -10 & -36  -13 & -40    :
Calculando:
Passo 13
Vamos calcular 
 . Primeiro, precisamos transpor 
 , e depois multiplicar pelo 
 .
Passo 14
A transposta de 
  (
 ) será 
  (
 ). Depois, multiplicamos 
  (
 ) por 
  (
 ), resultando em uma matriz 
 .
Passo 15
Agora, multiplicando 
 B^T times E =  7 & 9 & 11  8 & 10 & 12   -1 & 2  3 & 0  4 & 1  =  7*(-1) + 9*3 + 11*4 & 7*2 + 9*0 + 11*1  8*(-1) + 10*3 + 12*4 & 8*2 + 10*0 + 12*1     por 
 B^T times E =  -7 + 27 + 44 & 14 + 0 + 11  -8 + 30 + 48 & 16 + 0 + 12  =  64 & 25  70 & 28    :
Calculando:
Passo 16
Vamos calcular 
 . Aqui, 
  é a matriz identidade 
  e 
  é uma matriz 
 . Precisamos somar essas matrizes após multiplicar 
  por 2 e calcular 
  ao quadrado.
Passo 17
Primeiro, encontramos 
 2C = 2 times  2 & 3  0 & 1  =  4 & 6  0 & 2    :
Depois, calculamos 
 I2 + 2C + C^2 =  1 & 0  0 & 1  +  4 & 6  0 & 2  +  4 & 9  0 & 1  =  1+4+4 & 0+6+9  0+0+0 & 1+2+1  =  9 & 15  0 & 4    :
Agora, somamos 
 , 
  e 
 :
Passo 18
Vamos calcular 
 . Primeiro, somamos 
  e 
 , e depois elevamos a matriz resultante ao quadrado.
Passo 19
Primeiro, somamos 
 I2 + C =  1 & 0  0 & 1  +  2 & 3  0 & 1  =  3 & 3  0 & 2     e 
 (I2 + C)^2 =  3 & 3  0 & 2   3 & 3  0 & 2  =  3*3 + 3*0 & 3*3 + 3*2  0*3 + 2*0 & 0*3 + 2*2  =  9 & 15  0 & 4    :
Agora, elevamos essa matriz ao quadrado:
Passo 20
Vamos calcular 
 . Primeiro, precisamos elevar 
  ao cubo e depois multiplicar pelo 
 .
Passo 21
Primeiro, calculamos 
 C^3 = C times C times C = (C^2) times C   :
Já sabemos que:
Agora, multiplicamos 
 C^3 times F =  8 & 21  0 & 1   5 & 1  -2 & 3  =  8*5 + 21*(-2) & 8*1 + 21*3  0*5 + 1*(-2) & 0*1 + 1*3  =  40 - 42 & 8 + 63  -2 & 3  =  -2 & 71  -2 & 3     por 
 :
Agora, multiplicamos 
  por 
 :
Passo 22
Vamos calcular 
 . Primeiro, precisamos encontrar a transposta de 
  e depois multiplicar 
  por 
 .
Passo 23
A transposta de 
  (
 ) será 
  (
 ). Depois, multiplicamos 
  (
 ) por 
  (
 ), resultando em uma matriz 
 .
Passo 24
Agora, multiplicando 
 A times A^T =  1 & 2 & 3  4 & 5 & 6   1 & 4  2 & 5  3 & 6  =  1*1 + 2*2 + 3*3 & 1*4 + 2*5 + 3*6  4*1 + 5*2 + 6*3 & 4*4 + 5*5 + 6*6     por 
 A times A^T =  1 + 4 + 9 & 4 + 10 + 18  4 + 10 + 18 & 16 + 25 + 36  =  14 & 32  32 & 77    :
Calculando:
Passo 25
Vamos calcular 
 . Primeiro, multiplicamos 
  por 
  e depois o resultado por 
 .
Passo 26
Primeiro, multiplicamos 
  (
 ) por 
  (
 ). O resultado será uma matriz 
 . Depois, multiplicamos essa matriz por 
  (
 ), resultando em uma matriz 
 .
Passo 27
Primeiro, calculamos 
 F times D =  5 & 1  -2 & 3   2 & 4 & 6  1 & 3 & 5  =  5*2 + 1*1 & 5*4 + 1*3 & 5*6 + 1*5  -2*2 + 3*1 & -2*4 + 3*3 & -2*6 + 3*5  =  10 + 1 & 20 + 3 & 30 + 5  -4 + 3 & -8 + 9 & -12 + 15  =  11 & 23 & 35  -1 & 1 & 3    :
Agora, multiplicamos 
 (F times D) times E =  -11 + 69 + 140 & 22 + 0 + 35  1 + 3 + 12 & -2 + 0 + 3  =  198 & 57  16 & 1     por 
 :
Calculando: