Considere os seguintes modelos:
Em que,
e
, sendo os
constantes.
a) Estabeleça as relações entre os dois conjuntos de coeficientes de regressão e seus erros padrão.
b) Há diferença entre os
dos dois modelos?
a) Estabeleça as relações entre os dois conjuntos de coeficientes de regressão e seus erros padrão.
b) Há diferença entre os
Passo 1
O enunciado dá dois modelos em forma logarítmica e afirma que as versões com asterisco vêm de multiplicações por constantes. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
- Modelos dados:
- Relação entre variáveis (os
são constantes):
onde
e
são constantes positivas (assumimos positivas porque tomamos logaritmo).
O enunciado pede:
a) Estabelecer as relações entre os dois conjuntos de coeficientes de regressão e entre seus erros padrão.
b) Dizer se existe diferença entre os dos dois modelos.]
a) Estabelecer as relações entre os dois conjuntos de coeficientes de regressão e entre seus erros padrão.
b) Dizer se existe diferença entre os
Passo 2
Transformação das variáveis para trabalhar em logaritmos (a ideia básica): como
e
, aplicando logaritmo natural obtemos as expressões que ligam as versões com e sem asterisco:
Estas duas igualdades são básicas e vamos usá‑las para reescrever um modelo em termos do outro.
Passo 3
Substituir essas expressões no primeiro modelo (com asterisco) para ligá‑lo ao segundo:
substitui-se
e
, obtendo
Reorganizando para isolar
:
Passo 4
Comparando a última linha com o segundo modelo
, obtemos relações exatas entre os parâmetros e os termos de erro (no nível populacional):
e
Comentário intuitivo: multiplicar
e
por constantes gera apenas deslocamentos constantes nos logs; isso não altera a inclinação da relação log–log, apenas muda a interceptação por uma combinação de
e
. Os resíduos (diferença entre observado e ajustado) são iguais porque as transformações são puramente aditivas em log.
Passo 5
Agora vamos traduzir isso para as estimativas por MQO (ou seja, para os resultados que obteríamos na prática com dados). Por invariância dos estimadores OLS sob mudança por constantes nas variáveis (quando a transformação é simplesmente adicionar constantes aos logs), vale exatamente o mesmo mapeamento entre estimadores:
Também os resíduos estimados coincidem:
. Essas igualdades são exatas (não aproximadas) porque cada observação foi transformada por adição de constantes nos logs.
Passo 6
Erros padrão: primeiro a fórmula útil para a variância do estimador da inclinação em regressão simples (em notação compacta):
- Defina
e . Seja
onde
é a média amostral de
. Seja
(ou sua estimativa
obtida dos resíduos). Então, para a inclinação:
O erro padrão é a raiz quadrada dessa variância:
Passo 7
Por que o
é o mesmo para as versões com e sem asterisco? Se
então a média
e
Ou seja, somar a mesma constante a todos os
desloca a média mas não muda as diferenças
, logo não muda
. Além disso já vimos que os resíduos são idênticos, logo
é o mesmo nos dois modelos. Conclusão para a inclinação:
Portanto o erro padrão da inclinação não muda.
Passo 8
Erro padrão do intercepto: a fórmula (em regressão simples) é
e análogo para o modelo com asterisco:
onde
. Como
difere em geral de
, os dois termos
e
podem ser diferentes (mesmo com
e
iguais). Em palavras: o erro padrão da intercepto muda porque ele depende da localização da média de
, e essa média é deslocada ao somar
a todos os
.
Resumo sobre erros padrão:
- erro padrão da inclinação: não muda (
); - erro padrão do intercepto: em geral muda, porque depende de
que é deslocado por .
Passo 9
Sobre o
: lembre que em regressão linear
onde
e
(aqui
ou
conforme o modelo). Como vimos,
para cada
, então
. Além disso, se
então
e
logo
. Com SSE e SST idênticos nos dois modelos, o
é o mesmo. Conclusão:
Resposta
(a)
Nos estimadores:
Os erros padrão da inclinações coincidem:
. O erro padrão do intercepto em geral difere, porque depende de
(e
).
(b) Não há diferença: é o mesmo nos dois modelos.
(b) Não há diferença: